問題（平面図形）
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枠内の図のような、左右対称形をした五角形の板がたくさんあります。 この板を、下上上下上上下上上・・・・・と、一定の規則で隙間の無いように並べていきます。 板が1周ぐるっと廻って大きな円となるためには、この五角形が何枚必要ですか。 |
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解答例１［上下上を1組にして］
| ＴＯＲＡさん、mhayashiさん、信三さん、辻。さん、オリガツさん、 Ｍの喜劇さん、Banyanyanさん、たつみさん、犬飼仁史さん、長野美光＠インドネシアさん、 あまれっとさん、トトロ＠Ｎさん、とらいしくるさん、あああああさん、 数楽者さん、ミミズクはくず耳さん、勝浦捨てる造さん、フランク長いさん、じゅうたん島さん、 ありささん、GOMAさん、るんたったさん、ヌオさん、AIRさん、 ゾロさん、N.Nishiさん、ステップ ばい ステップさん、有無相生さん、鈴木さん、 鍵谷保奈美さん、Nの悲劇さん、ponta55555さん、Taroさん、tekiさん、 AZUKUNさん、A.NOUCHIさん、tomhさん、とりやまさん、かあさんさん、 トシえもんさん、大岡 敏幸さん、こざっぱさん、tanikawaさん、白須大樹さん、 ねこやんさん、こうちゃんずさん、めそさん、パリンさん、他 |
まず、五角形の底角を求めます。
五角形の内角の和＝１８０×（５−２）＝５４０°だから、
底角＝（５４０−１２８×３）÷２＝７８°
となります。上下上を１組にして考ると、
下向き五角形の底角と上向き五角形の底角は等しいので、３つの底辺は平行。従って、両側の上向き五角形の底辺は一直線上に並びます。
これを結んだ線分を底辺とし、上向き五角形の斜辺に重なるような二等辺三角形を考えると、
頂角＝１８０−７８×２＝２４°になります。３６０÷２４＝１５なので、これらを１５組を並べるとちょうど１周することになります。
板は１組３枚なので、合計＝３×１５＝４５枚となります。答 ４５枚
以上
解答例２［4n角形の内角の和を考えて］
| 高橋 道広さん、他 |
解答例１と同様、上下上を１組にして考えて、全部でn組あるとします。
３n枚の板の外側の辺でできる４n角形の内角の和＝１８０×（４n−２）度。
３枚分の内角の和＝７８×４＋１２８×３＝６９６度。従って、
１８０×（４n−２）＝６９６×n、
２４n＝３６０
よって、n＝３６０÷２４＝１５。よって、板の合計枚数＝１５×３＝４５枚となります。
解答例３［ 斜めの辺の中点を結ぶ］
| C-Dさん、他 |
やはり、上下上を１組にして考えて、全部でn組あるとします。
五角形の斜辺の中点を次々に結んでできる３n角形の内角の和＝１８０×（３n−２）度。
３枚分の内角の和＝７８×４＋１０２×２＝５１６度。従って、
１８０×（３n−２）＝５１６×n、
２４n＝３６０
よって、n＝３６０÷２４＝１５。よって、板の合計枚数＝１５×３＝４５枚となります。
