第４７問の解答

問題（その他）

3/4（4分の3）と書いたカードと、8/9（9分の8）と書いたカードがたくさんあります。

それそれのカードを何枚かずつ取り出し、取り出したカードの数字を全てかけ合わせたところ、
積が1/9（9分の1）になりました。

このとき、それぞれのカードは何枚ずつ取り出したのでしょう？

解答例１［素因数分解して考える、３：２で調べる、1/3をつくる、分子が１になる組合せを考える］

ＴＯＲＡさん、ryo sagawaさん、江端ちはやさん、小杉原啓さん、C-Dさん、 maruhagedonさん、長野美光＠インドネシアさん、大岡　敏幸さん、るんたったさん、hukuさん、まるケンさん、tomhさん、たつみさん、トトロ＠Ｎさん、ヨッシーさん ponta55555さん、　
辻。さん、y-iさん、ミミズクはくず耳さん、勝浦捨てる造さん、数楽者さん、 HAJIさん、Taroさん、鍵谷保奈美さん、Bossfさん、
あずまさん、とらいしくるさん、BEANさん、仮面Xさん、　、きよたんさん、他

分母・分子を素因数分解すると、
　３/４＝３/（２×２）、８/９＝（２×２×２）/（３×３）、および１/９＝１/（３×３）
となります。

素因数２を消すために、３/４を３回、８/９を２回掛けてみると、
　（３/４×３/４×３/４）×（８/９×８/９）＝１/３
となります。

従って、１/９を得るには、これらをさらにもう一度掛け合わせればいいので、
　（３/４×３/４×３/４）×(３/４×３/４×３/４）×（８/９×８/９)×(８/９×８/９）
＝１/３×１/３＝１/９
となります。

よって、３/４を６枚と８/９を４枚取り出せば良いことになります。

答　３/４：６枚、８/９：４枚

以上

解答例２［1/2を見つけて］

翔太のパパさん、PDJさん、検非違使さん、他

（３/４×３/４）×（８/９）＝１/２
より、これらを３回ずつ掛ければ、
（３/４×３/４）×（３/４×３/４）×（３/４×３/４）×（８/９）×（８/９）×（８/９）＝１/８

これらに、８/９を掛ければ、
（３/４×３/４×３/４×３/４×３/４×３/４）×（８/９×８/９×８/９×８/９）
＝１/８×８/９＝１/９
となります。

よって、３/４を６枚と８/９を４枚取り出せば良いことになります。

解答例３［２個と２個から２：１で増やす］

　高田修成さん、他

（３/４×３/４）×（８/９）＝１/２　　・・・　（１）
（３/４×３/４）×（８/９×８/９）＝４/９　・・・　（２）

（２）の分子２を消すために、（１）×（１）×（２）より、
（３/４×３/４）×（３/４×３/４）×（３/４×３/４）×（８/９×８/９）×（８/９）
＝１/２×１/２×４/９＝１/９　

よって、３/４を６枚と８/９を４枚取り出せば良いことになります。

解答例４［階乗で、指数法則で、方程式で］

有無相生さん、じてんしゃこぞうさん、A.NOUCHIさん、　takuさん、他

３/４をm枚と８/９をn枚取り出すことにします。

３/４＝３¹/２²、８/９＝２³/３²　より、
　（３/４）^m×（８/９）ⁿ＝３^m-2n×２^-2m+3n＝３^-2

よって、
　m-2n＝-２　・・・　（１）
-2m+3n＝０　・・・　（２）
が成り立ちます。

これらを解いて、m＝６、n＝４を得ます。


	（３/４×３/４）×（８/９）＝１/２より、これらを３回ずつ掛ければ、（３/４×３/４）×（３/４×３/４）×（３/４×３/４）×（８/９）×（８/９）×（８/９）＝１/８これらに、８/９を掛ければ、（３/４×３/４×３/４×３/４×３/４×３/４）×（８/９×８/９×８/９×８/９）＝１/８×８/９＝１/９となります。よって、３/４を６枚と８/９を４枚取り出せば良いことになります。


	（３/４×３/４）×（８/９）＝１/２　　・・・　（１）（３/４×３/４）×（８/９×８/９）＝４/９　・・・　（２）（２）の分子２を消すために、（１）×（１）×（２）より、（３/４×３/４）×（３/４×３/４）×（３/４×３/４）×（８/９×８/９）×（８/９）＝１/２×１/２×４/９＝１/９　よって、３/４を６枚と８/９を４枚取り出せば良いことになります。


	３/４をm枚と８/９をn枚取り出すことにします。３/４＝３¹/２²、８/９＝２³/３²　より、　（３/４）^m×（８/９）ⁿ＝３^m-2n×２^-2m+3n＝３^-2 よって、　m-2n＝-２　・・・　（１） -2m+3n＝０　・・・　（２）が成り立ちます。これらを解いて、m＝６、n＝４を得ます。