第53問の解答


問題[整数の性質]

2002年(平成14年)は、2002÷14=143というように、西暦の数字平成の数字で割ったとき整数が求まる年でした。

次に今年と同じように整数になるのは今から何年後のことですか?
 


解答例1西暦と元号の数字の差の約数調べ 、因数を整数にするために]

Taroさん、maruhagedonさん、Banyanyanさん、C-Dさん、ヌオさん、 トシえもんさん、あまれっとさん、ponta55555さん、フランク長いさん、トトロ@Nさん、 まるケンさん、長野美光@天津さん、ひびき りょうさん、 ねこやんさん、

参考図1

西暦年と平成年との差は、2002−14=1988なので、
 平成n年=西暦(1988+n)年
という関係があります。

従って、
 西暦÷平成=(1988+n)÷n=1988÷n+1
となるので、西暦年が平成で割り切れるためには、
1988nで割り切れること、すなわちn1988の約数となることが必要かつ十分です。

1988素因数分解すると、
 1988=2×2×7×71
となるので、1988の約数は、
 1、2、4、7、14、28、71、142、284、497、994、1988
と分かります。

従って、n>14で最小の約数nは、n28となりますので、
次に西暦年が平成で割り切れるのは、
 28−14=14年後
となります。

答 14年後

以上


解答例2[方程式で、不定方程式]

有無相生さん、熱狂的巨人ファンさん、大岡 敏幸さん、スモークマンさん、tomhさん、

参考図2

x年後に、(2002+x)÷(14+x)が、整数mになったとして、
n=14+x とおくと、
 (2002+n−14)÷nm
 
1988+n=nm
 n
m-1)=1988=2×2×7×71

よって、
nm-1)=(1、1988)、(2、994)、(4、497)、(7、284)、
       (14、142)、(28、71)、(142、14)、(284、7)、
       (497、4)、(994、2)、(1988、1)

n>14なので、n=28が次の年。
従って、n−14=14年後となります。


(その他の解法)