問題［平面図形]
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左図でABCDEは正五角形です。 |
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解答例１［ひし形と二等辺三角形 、星型対角線のなす角および対称性、見る角度を変えて］
| ＪＵＮさん、ともあきさん、とらいしくるさん、junさん、C-Dさん、
kasamaさん、tomhさん、ヒトシさん、あまれっとさん、kobaさん、 N.Nishiさん、ピーターラビットさん、大岡 敏幸さん、三宅彩香さん、 土橋 雅樹さん、他 |
正五角形の中心をＯとし、Ｏと各頂点を結びます。（図１）
また、ＡＣ、ＢＤを結んで内部に星形を作り、対称性に着目します。（図２）
図１より、△ＡＯＢ、△ＢＯＣ、△ＣＯＤ、△ＤＯＥ、△ＥＯＡは、合同な二等辺三角形で、
頂角＝３６０÷５＝７２度だから、底角＝（１８０−７２）÷２＝５４度、
従って、正五角形の頂角＝５４×２＝１０８度と分かります。図２より、△ＡＢＥ、△ＢＣＡ、△ＣＢＤ、△ＤＣＥ、△ＥＤＡは、合同な二等辺三角形で 、
頂角＝１０８度だから、底角＝（１８０−１０８）÷２＝３６度、
よって、∠ＣＡＤ＝∠ＤＢＥ＝∠ＥＣＡ＝∠ＡＤＢ＝∠ＢＣＤ＝１０８−３６×２＝３６度。すると、△ＡＨＧ、△ＢＩＨ、△ＣＪＩ、△ＤＦＪ、△ＥＧＦは、合同な二等辺三角形で 、
頂角＝３６度だから、底角＝（１８０−３６）÷２＝７２度となります。よって、△ＡＦＥ、△ＣＤＦなども、底角が７２度の合同な二等辺三角形となります。
以上から、四角形ＡＢＣＦは四辺が等しいのでひし形と分かります。
すると、辺ＢＦはひし形の対角線となるので、∠ＡＢＣ＝∠ＡＦＣ＝１０８度を、それぞれ二等分します。
よって、
∠ＢＦＣ＝∠ＡＢＦ＝１０８÷２＝５４度、
∠ＦＢＧ＝∠ＡＢＦ−∠ＡＢＥ＝５４−３６＝１８度
となります。答 ５４度、１８度
以上
解答例２［相似な二等辺三角形から 、bfcをｘとして］
| N.Nishiさん、ピーターラビットさん、大岡 敏幸さん、三宅彩香さん、 たこ焼き＠さん、他 |
解答例１とほぼ同じですが、図２より、△ＢＦＣがＣＢ＝ＣＦの二等辺三角形であることが分かります。
よって、
∠ＢＦＣ＝（１８０−７２）÷２＝５４度と求まります。
以下、同様。
解答例３［円周角と中心角］
| evolutionさん、有無相生さん、他 |
解答例１と同様にして、∠ＦＥＢ＝３６度、∠ＦＡＢ＝７２度＝∠ＦＥＢ×２が分かります。
従って、図３から、∠ＦＥＢはＢＦに対する円周角、∠ＦＡＢは中心角となり、
Ｂ、Ｆ、Ｅの３点はいずれもＡを中心とし、半径をＡＢとする円の周上にある ことが分かります。よって、図４から、∠ＦＢＥはＦＥに対する円周角、∠ＦＡＥは中心角となり、
２×∠ＦＢＥ＝∠ＦＡＥ、
∠ＦＢＥ＝∠ＦＡＥ÷２＝３６÷２＝１８度。また、∠ＢＦＣは△ＢＦＥの外角だから、
∠ＢＦＣ＝∠ＦＢＥ＋∠ＦＥＢ＝１８＋３６＝５４度
となります。
