問題[規則性]
次の式を計算してください。
3+9+27+81+243+・・・・・・+59049
解答例1[(59049*3-1)÷2-1、59049を素因数分解して、前の数までの和の算出]
まるケンさん、Mr.Knightさん、鳳仙花さん、有無相生さん、 kasamaさん、tomhさん、ふじさきたつみさん、tekiさん、ryoさん、
寺脇犬さん、午年のうりぼうさん、かすみんさん、 松本 時博さん、成立 飛鳥さん、他
9=3×3、27=9×3、81=9×3、243=81×3、・・・、
となっているので、各項は、それぞれ前の項の3倍になっています。
(等比数列:一般式=3k)
求める合計をS(上記、式(1))とおき、S×3(上記、式(2))を計算してみます。
式(2)を一つずらすと第2〜10項までが等しくなることが分かります。従って、(2)−(1)より、
S×2=177147−3=177144
よって、S=177144÷2=88572と求まります。答 88572
以上
解答例2[3+3の二乗+3の3乗+・・・+3の10乗、等比数列の和の公式]
とらいしくるさん、N.Nishiさん、遠藤平吉さん、大岡 敏幸さん、 かず。さん、他
(参考)等比数列の和の公式の求め方 初項a、公比rの等比数列の一般項はa×rk-1と表せます。
第n項までの和をSとすると、
S=a+a×r+a×r2+a×r3+・・・+a×rn-1 ・・・(1)
S×r= a×r+a×r2+a×r3+・・・+a×rn-1+a×rn ・・・(2)(2)−(1)より、
S×(r-1)=a×rn−a=a×(rn−1)よって、
S=a×(rn−1)/(r-1)
と求まります。3+9+27+81+243+・・・・・・+59049は、
初項3、公比3の等比数列の第10項までの和となります。従って、上記公式を適用すれば、
和=3×(310−1)/(3−1)
=3×(59049−1)/2
=(177147−3)/2
=88572
と求まります。
解答例3[そのまま計算する、紙に書いて計算する、かける3]
ぺんこさん、Taroさん、るんたったさん、ぶぁさん、evolutionさん、 野球=乱闘党首さん、JUNさん、AYAKAさん、野球=乱闘党首さん、hitoshiさん、 tataさん、shioriさん、 shioriさん、shioriさん、 ピーターラビットさん、他
3+9+27+81+243+・・・・・・+59049が、公比3の等比数列の和 であることに気づけば、
紙に書くなどして直接計算することができます。
(その他の解法)
- (1+3の5乗)(3+3の2乗+・・+3の5乗) ・・・ 土居 千珠さん、こえだ§さん、 他