第87問の解答


問題整数の性質(虫食い算)]

6個異なる数字を並べて、ABCDEFという6ケタの整数を作ります。
この整数6倍すると、DEFABCになります。
また、ABCDEF999になります。

この整数ABCDEF何ですか


解答例1[普通に当てはめる 、A+D=B+E=C+F=9、筆算にして当てはめる、もみほぐす:]

ふうきさん、光希魔宇数(ミッキーマウス?)さん、デンガミジョーさん、吉田佳薫さん、shiaroさん、 大岡 敏幸さん、智乃介さん、とらいしくるさん、みかんさん、ぺんこさん、 浜直君さん、snowさん、アラちゃんさん、kasamaさん、HAJIさん、 塾教師さん、パリンさん、沙月さん、戸村秀志さん、  Knightさん、TOMMYさん、算数人間さん、ショウさん、パァ〜子さん、 Yyukomamaさん、 智乃介さん、理一さん、  ライスさん、

虫食い算で考えてみましょう。まず、を示します。

参考図1

1桁の整数2個の18以下なので、の下1桁がより、となります。
の桁上がりがないことから、の下1桁がとなり、同様にしてとなります。
の桁上がりがないことから、の下1桁がとなり、同様にしてとなります。

参考図2

まず、≧2なら×6>10と桁上がりするので、、よって、=9−となります。

次に、B≧5なら、15×6>150×6=900となり不適、
また、≦3なら、13×6<140×6=840となり不適、
よって、=9−となります。

次に、C≧3なら、≦5となるが、1438×6>1430×6=8580となり不適、
また、=1なら、=8となるが、1418×6<1420×6=8520となり不適、
よって、=9−となります。

よって、ABCDEF142857と求まります。

答 142857

以上


解答例2[999999÷7、1/7が142857]

TORAさん、あまれっとさん、ちこりんさん、長野 美光さん、寺脇犬さん、  あきあきさん、C-Dさん、kunioさん、まるケンさん、ふじさきたつみさん、

参考図3

=1より、ABCDEFDEFABC= 999999となります。

ところが、DEFABCABCDEF×6なので、
 ABCDEFDEFABCABCDEF×(1+6)=999999

よって、
 ABCDEF=999999÷7=142857
と求まります。

(別解)1/7=0.142857...の循環小数になります。

 X=0.ABCDEF...のような循環小数を考えます。
X=0.DEFABC...なので、これらを加えると、
=0.999999...=1

よって、=1/7=0.142857...
 ABCDEF142857
と求まります。


解答例3[連立方程式]

ちずさん、有無相生さん、tomhさん、みゆきさん、 N.Nishiさん、

参考図4

XABCDEFとおきます。

題意より、
  =999 ・・・ (1)
および
 (1000)×6=+1000
 
 5999=994
  857=142 ・・・ (2)

(1)×142より、
 142+142=142+857X=999=999×142
よって、142857を得ます。

従って、ABCDEF142857と求まります。

(別解)
(2)より、857は素数なので142と互いに素、
よって、は142の倍数、は857の倍数となります。

は3桁の整数より、857、従って142
以下、同様、