問題[空間図形]
図は1辺が6cmの立方体ABCD-EFGHを平面PQRSTUで切断したものです。
AP=DU=FR=4cmとなるように切断したとき、GTは何cmになりますか?
解答例1[相似,、延長、延長して相似 、STの傾きに着目]
Knightさん、川村 高雅さん、ぺんこさん、こえだ§さん、浜直君さん、 長野 美光さん、みかんさん、ペンギンさん、 きょろ文さん、モトヤさん、ほげさん、mhayashiさん、吉田貴法さん、 光希魔宇数(ミッキーマウス?)さん、HAJIさん、パリンさん、川村朗さん、neoさん、他 多数
UP、QR、STの交点をI、J、Kとします。
これらは同一平面上にあるため、B、A、IとB、F、JおよびB、C、Kは、それぞれ一直線上に並んでいます。
まず、△UDPと△IAPが相似で相似比=DP:AP=1:2より、
IA=UD×2=8cm。次に、△KUCと△PIAが相似で相似比=UC:IA=1:4より、
KC=PA×1/4=1cm。また、△IBJと△RFJが相似で相似比=IB:RF=7:2より、
BF:FJ=5:2、
よって、
FJ=BF×2/5=2.4cm。そして、△KCTと△KBJが相似で相似比=KC:KB=1:7より、
CT=BJ×1/7=1.2cm。よって、
GT=CG-CT=4.8cm
と求まります。なお、PQ、RS、TUの交点を求めても同様に求まります。
答 4.8cm
以上
解答例2 [方程式で、座標]
世之介さん、信三さん、tomhさん、 kasamaさん、ハラギャーテイさん、 他
Eを原点として、EFをx軸、EHをy軸、およびEAをz軸とします。
平面の方程式を、ax+by+cz=1とすると、3点R(2,0,0)、P(0,4,6)、U(4,6,6)を通るので、
2a=1
4b+6c=1
4a+6b+6c=1
が成り立つ。これを解いて、a=1/2、b=-1、c=5/6を得る。
平面はT(6,6,z)も通るので、 1/2×6-1×6+5/6×z=1より、
z=24/5=4.8cm
と求まります。