第7問の解答


1.問題

7枚カードがあり、それぞれのカードにはからまでの数字を書いてあります。
同じ数字はありません。

さて、これらのカードを裏返して適当に並べました。
(1)これらのカード数字を予想して、1枚も当たらない確率はいくらでしょうか?
  (同じ数字を予想することはしないものとします。)
(2)カード枚数が多くなったとき、この確率はどうなるでしょうか


2.解答例1(中村明海さん、Shinobuさん他)

(設問1)

漸化式を求めます。n枚を場所と数字がひとつも合わないように並べる場合の数を a(n)と書くことにします。(便宜上a(0)=1とします。)

a(1)=、a(2)=は明らかです。

n枚のとき、
・n枚合うのが C0×a(0)通り
・n-1枚合うのが C1×a(1)通り
・n-2枚合うのが C2×a(2)通り
・n-3枚合うのが C3×a(3)通り・・・、
n枚を並べる場合の数はn!なので、
一般に、a(n)=n!−Σ(i=0,n-1)×a(i)が成り立ちます。

これから、
a(3)=3!−(0×a(0)+1×a(1)+2×a(2))
   =6−(1×1+3×0+3×1)=

a(4)=4!−(40×a(0)+41×a(1)+42×a(2)+43×a(3))
   =24−(1×1+4×0+6×1+4×2)=

a(5)=5!−(50×a(0)+51×a(1)+52×a(2)+53×a(3)+54×a(4))=120−(1×1+5×0+10×1+10×2+5×9)=44

a(6)=6!−(60×a(0)+61×a(1)+62×a(2)+63×a(3)+64×a(4)+74×a(4)))
=720−(1×1+6×0+15×1+20×2+15×9+6×44)=265

a(7)=7!−(70×a(0)+71×a(1)+72×a(2)+73×a(3)+74×a(4)+75×a(5)+76×a(6))
=5040−(1×1+7×0+21×1+35×2+35×9+21×44+7×265)=1854

よって、求める確率は1854/5040=103/280

答:103/280

(設問2)

漸化式 a(n) = (n-1)(a(n-1) + a(n-2))・・(式1)が成り立つことを示します。

カードは 1,2,3,4,5,6,,,と並んでいるとします。
n-1枚までについて調べが済んでいるとして、n枚の場合を考えます。

n枚目が当たらないために、n枚目の答は1からn-1の、n-1通り
n枚目で答える数字をxとするとき、
(1) nをx枚目に答える場合が、a(n-2)通り
(2) nをx枚目以外で答える場合は、nのかわりにxと答えたときと同数でa(n-1)
通り。
都合、a(n) = (n-1)(a(n-1) + a(n-2))通り。

次に、漸化式 a(n) = n・a(n-1) + (-1)^n・・(式2)を示します。

式1より、a(n)−n・a(n-1)=−(a(n-1)−(n-1)・a(n-2))
すなわち、a(n)−n・a(n-1)は、公比−1の等比数列。

よって、a(n)−n・a(n-1)=(-1)^(n-1)×(a(1)−1・a(0))=(-1)^n
    a(n) = n・a(n-1) + (-1)^n

従って式2より、
    a(n)/n! = a(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!
求める確率 p(n)=a(n)/n!の一般項は、
p(n)=1−1+1/2!−1/3!+1/4!−1/5!+・・・+(-1)^n/n!
となります。

exp(x)=1+x+1/2x2+1/3!x3+1/4!x4+1/5!x5+・・・+1/n!xn+・・・

よって、exp(−1)=1−1+1/2−1/3!x3+1/4!x4−1/5!x5+・・・+(-1)^n/n!+・・・

従って、p(n)はnが大きくなるとexp(−1)=1/eに収束することがわかります。

 

以上


3.解答例2(三好知之さん、清川育男さん、Asamiさん、たなかさん他)

解答例1設問2で示した漸化式1を用いる。

 a(3) = 2×(a(2) + a(1))=2×(1+0)=2
 a(4) = 3×(a(3) + a(2))=3×(2+1)=9
 a(5) = 4×(a(4) + a(3))=4×(9+2)=44
 a(6) = 5×(a(5) + a(4))=5×(44+9)=265
 a(7) = 6×(a(6) + a(5))=6×(265+44)=1854

以下同様