第７問の解答

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１．問題

７枚のカードがあり、それぞれのカードには１から７までの数字を書いてあります。 同じ数字はありません。 さて、これらのカードを裏返して適当に並べました。 （１）これらのカードの数字を予想して、１枚も当たらない確率はいくらでしょうか？ 　　（同じ数字を予想することはしないものとします。） （２）カード枚数が多くなったとき、この確率はどうなるでしょうか？

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２．解答例１（中村明海さん、Shinobuさん他）

（設問１）

漸化式を求めます。ｎ枚を場所と数字がひとつも合わないように並べる場合の数を ａ（ｎ）と書くことにします。（便宜上ａ（０）＝１とします。）

ａ（１）＝０、ａ（２）＝１は明らかです。

ｎ枚のとき、
・n枚合うのが _ｎC₀×ａ（0）通り
・n-1枚合うのが _ｎC₁×ａ（１）通り
・n-2枚合うのが _ｎC₂×ａ（２）通り
・n-3枚合うのが _ｎC₃×ａ（３）通り・・・、
ｎ枚を並べる場合の数はｎ！なので、
一般に、ａ（ｎ）＝ｎ！−Σ（ｉ＝0，ｎ-1）_ｎＣ_ｉ×ａ（ｉ）が成り立ちます。

これから、
ａ（３）＝３！−（_３Ｃ₀×ａ（0）＋_３Ｃ₁×ａ（1）＋_３Ｃ₂×ａ（2））
　　　＝６−（１×１＋３×０＋３×１）＝２

ａ（４）＝４！−（₄Ｃ₀×ａ（0）＋₄Ｃ₁×ａ（1）＋₄Ｃ₂×ａ（2）＋₄Ｃ₃×ａ（3））
　　　＝24−（１×１＋4×０＋6×１+４×２）＝９

ａ（５）＝５！−（₅Ｃ₀×ａ（0）＋₅Ｃ₁×ａ（1）＋₅Ｃ₂×ａ（2）＋₅Ｃ₃×ａ（3）＋₅Ｃ₄×ａ（4））＝１２０−（１×１＋５×０＋１０×１+１０×２＋５×９）＝４４

ａ（６）＝６！−（₆Ｃ₀×ａ（0）＋₆Ｃ₁×ａ（1）＋₆Ｃ₂×ａ（2）＋₆Ｃ₃×ａ（3）＋₆Ｃ₄×ａ（4）＋₇Ｃ₄×ａ（4）））
＝７２０−（１×１＋６×０＋１５×１+２０×２＋１５×９＋６×４４）＝２６５

ａ（７）＝７！−（₇Ｃ₀×ａ（0）＋₇Ｃ₁×ａ（1）＋₇Ｃ₂×ａ（2）＋₇Ｃ₃×ａ（3）＋₇Ｃ₄×ａ（4）＋₇Ｃ₅×ａ（５）＋₇Ｃ₆×ａ（６））
＝５０４０−（１×１＋７×０＋２１×１+３５×２＋３５×９＋２１×４４＋７×２６５）＝１８５４

よって、求める確率は１８５４／５０４０＝１０３／２８０

答：１０３／２８０

（設問２）

漸化式　a(n) = (n-1)(a(n-1) + a(n-2))・・（式１）が成り立つことを示します。

カードは 1,2,3,4,5,6,,,と並んでいるとします。
ｎ-1枚までについて調べが済んでいるとして、ｎ枚の場合を考えます。

ｎ枚目が当たらないために、ｎ枚目の答は1からｎ-1の、ｎ-1通り
ｎ枚目で答える数字をｘとするとき、
(1)　ｎをｘ枚目に答える場合が、a(ｎ-2)通り
(2)　ｎをｘ枚目以外で答える場合は、ｎのかわりにｘと答えたときと同数でa(ｎ-1)
通り。
都合、a(n) = (n-1)(a(n-1) + a(n-2))通り。

次に、漸化式　a(ｎ) = ｎ・a(n-1) + (-1)＾ｎ・・（式２）を示します。

式１より、a(n)−n・a(n-1)＝−（a(n-1)−(n-1)・a(n-2))
すなわち、a(n)−n・a(n-1)は、公比−１の等比数列。

よって、a(n)−n・a(n-1)＝(-1)＾(ｎ-1)×（a(1)−1・a(0)）＝(-1)＾ｎ
　　　　a(ｎ) = ｎ・a(n-1) + (-1)＾ｎ

従って式２より、
　　　　ａ(ｎ)／ｎ！ = a(n-1)／(n-1)！ + (-1)＾ｎ／ｎ！
求める確率 ｐ（ｎ）＝ａ（ｎ）／ｎ！の一般項は、
ｐ（ｎ）＝１−１＋１／２！−１／３！＋１／４！−１／５！＋・・・＋(-1)＾ｎ／ｎ！
となります。

ｅｘｐ（ｘ）＝１＋x＋１／２x²＋１／３！ｘ³＋１／４！ｘ⁴＋１／５！x⁵＋・・・＋１／ｎ！ｘⁿ＋・・・

よって、ｅｘｐ（−１）＝１−１＋１／２−１／３！ｘ³＋１／４！ｘ⁴−１／５！x⁵＋・・・＋(-1)＾ｎ／ｎ！＋・・・

従って、ｐ（ｎ）はｎが大きくなるとｅｘｐ（−１）＝１／ｅに収束することがわかります。

　

以上

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３．解答例２（三好知之さん、清川育男さん、Ａｓａｍｉさん、たなかさん他）

解答例１の設問２で示した漸化式１を用いる。

　a(３) = ２×(a(２) + a(１))＝２×（１＋０）＝２
　a(４) = ３×(a(３) + a(２))＝３×（２＋１）＝９
　a(５) = ４×(a(４) + a(３))＝４×（９＋２）＝４４
　a(６) = ５×(a(５) + a(４))＝５×（４４＋９）＝２６５
　a(７) = ６×(a(６) + a(５))＝６×（２６５＋４４）＝１８５４

以下同様

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