第１１問の解答
１．問題
１から６までの数字を使って３桁の整数をつくります。
この中に６の倍数はいくつあるでしょうか。
次の２つの場合の個数を求めて下さい。（１）数字は何度使っても良い場合（例：２３４、４１４、２２２）。
（２）数字は１度づつしか使えない場合（例：２３４、４３２）。
２．解答例１
（設問１）
次の補題を使います。
[補題]ｎ個の連続する整数の中にｎの倍数が１個だけ存在する。
（証明）
ｎ個の連続する整数をａ1、ａ2、・・・、ａnとします。
もしこの中にｎで割った余りが等しい整数ａp、ａq(ａp＜ａq)があったとすると、ａq-ａpはｎの倍数になります。
ところが、ａ1≦ａp＜ａq≦ａnで、０＜ａq-ａp＜ａn-ａ1＜ｎに反します。従って、ａ1、ａ2、・・・、ａnをｎで割った余りは全て相異なる。
ところが、ｎで割った余りは0、1、・・・、(n-1)のｎ個しかないので、ａ1、ａ2、・・・、ａnの中に１個だけｎで割った余りが0のもの、すなわちｎの倍数が１個だけ必ず存在する。
ｐ、ｑ（１≦ｐ、ｑ≦６）を任意にとります。
ｐｑ１、ｐｑ２、・・・、ｐｑ６は６個の連続した整数ですから、補題によりこの中に１個だけ６の倍数が存在します。従って、ｐ、ｑは任意ですから６の倍数の個数は６×６＝３６個あります。
（設問２）
設問１で求めた３６個から同じ数字が含まれるものを除けば良いことになります。
６＝２×３ですから、６の倍数であるためには２の倍数かつ３の倍数でなければなりません。
２の倍数であるためには、１位の数字が２の倍数２，４，６のいずれかです。
３の倍数であるためには、各数字の和が３の倍数でなければなりません。
（３桁の整数ｐｑｒ＝ｐ×１００＋ｑ×１０＋ｒ＝ｐ×９９＋ｑ×９＋ｐ＋ｑ＋ｒ）以上から、３６個の６の倍数が簡単に求まります。
１１４
１２６
１３２
１４４
１５６
１６２２１６
２２２
２３４
２４６
２５２
２６４３１２
３２４
３３６
３４２
３５４
３６６４１４
４２６
４３２
４４４
４５６
４６２５１６
５２２
５３４
５４６
５５２
５６４６１２
６２４
６３６
６４２
６５４
６６６同じ数字が含まれるものが１２個あるので、異なる数字のものは３６−１２＝２４個となる。
答：（１）３６個 （２）２４個
以上