第13問の解答
1.問題
正三角形をさらにいくつかの正三角形に分割することを考えます。
左図では、正三角形を4等分していますが、分割後の正三角形は異なる大きさでも構いません。(1)6個に分割する例を示して下さい。
(2)nを6以上の任意の整数とするとき、n個の正三角形に必ず分割できることを説明して下さい。
2.解答例1(Asamiさん、ちゃめさん、たなかさん、吉田和義さん、kuri)
(設問1)
例えば、下図のように9等分した上4個分を1つの正三角形にすると6つの正三角形に分割することができます。
図1
(設問2)
7、8分割の例を示します。
(1)7分割の例(図2)
(2)8分割の例(図3)
(3)nが6以上の任意の整数の場合
図2では4分割(問題図)した1つの正三角形を4分割することで、7分割(+4−1=+3)が可能となっている。
同様にして、
6分割(図1)から出発して6→9→12→・・・(n:3の倍数)
7分割(図2)から出発して7→10→13→・・・(n:3で割った余り1)
8分割(図3)から出発して8→11→14→・・・(n:3で割った余り2)
分割が可能。
従って、6以上の任意の整数nに対してn分割が可能となります。以上
3.解答例2(ありさのお父さん、tomhさん、伊藤建志さん)
(設問1)省略。
(設問2)
図1,図3と同様にして、4以上の偶数個に分割できることを示します。
n≧2とし、正三角形をn2等分します。
すると、n段ある各段には1,3,5,・・・、(2n−1)個の正三角形があります。
このうち、最下段はそのままにして、残りの部分を1個の正三角形にまとめると(2n−1)+1=2n個の正三角形に分割されたことになります。従って、4、6、8、10、・・・等の偶数個に分割できることになります。
次に、2n個に分割したもののうち、1個の正三角形をを4分割すると(2n+3)個に分割できます。
よって、7、9、11、13、・・・等の奇数個にも分割できることになります。
以上から、6以上の任意の整数個に分割できることが分かりました。