第13問の解答


1.問題

問題図
正三角形をさらにいくつかの正三角形分割することを考えます。
左図では、正三角形4等分していますが、分割後の正三角形異なる大きさでも構いません。

(1)6個に分割する例を示して下さい。

(2)n6以上の任意の整数とするとき、n個正三角形必ず分割できることを説明して下さい。


2.解答例1(Asamiさん、ちゃめさん、たなかさん、吉田和義さん、kuri)

(設問1)

例えば、下図のように9等分した上4個分を1つの正三角形にすると6つの正三角形に分割することができます。

図1
参考図1

 

(設問2)

7、8分割の例を示します。

(1)7分割の例(図2)
参考図2
(2)8分割の例(図3)
参考図3

(3)nが6以上の任意の整数の場合

図2では4分割(問題図)した1つの正三角形4分割することで、7分割(+4−1=+3)が可能となっている。
同様にして、
  6分割(図1)から出発して6→9→12→・・・(n:3の倍数)
  7分割(図2)から出発して7→10→13→・・・(n:3で割った余り1)
  8分割(図3)から出発して8→11→14→・・・(n:3で割った余り2)
分割が可能。
従って、6以上の任意の整数nに対してn分割が可能となります。

以上


3.解答例2(ありさのお父さん、tomhさん、伊藤建志さん)

(設問1)省略。

(設問2)

図1,図3と同様にして、4以上の偶数個に分割できることを示します。

n≧2とし、正三角形2等分します。
すると、n段ある各段には1,3,5,・・・、(2n−1)個正三角形があります。
このうち、最下段はそのままにして、残りの部分を1個正三角形にまとめると(2n−1)+1=2n個の正三角形に分割されたことになります。

従って、4、6、8、10、・・・等の偶数個に分割できることになります。

次に、2n個に分割したもののうち、1個の正三角形をを4分割すると(2n+3)個に分割できます。

よって、7、9、11、13、・・・等の奇数個にも分割できることになります。

以上から、6以上の任意の整数個に分割できることが分かりました。