第１７問の解答

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１．問題

左図のように、6つのマス目があります。このマス目のなかに、1から6までの数字を使って、次のような規則を守るように置いていって下さい。 各マス目の数字は、上段の2つのマス目の数字の差（大きいほうから小さいほうを引く）になっている。（例えば、Ａ1＝Ａ2-Ａ3、Ａ2＝Ａ5-Ａ4、・・・） 全ての数字は、必ずどこかのマス目に置かれている。 （したがって、同じ数字が複数のマス目に置かれることはない） （１）このような数字の置き方を1つ見つけて下さい。 （２）このような数字の置き方を出来るだけたくさん見つけて下さい。

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２．解答例1(ちゃめさん、ありさのお父さん他)

差が６である数字のペアは１〜６にないので、６は最上段のみ置けることに注意しましょう。
また、５が最下段にあるとしたら、差が５になるペアは６と１のみなので、６が中段にあることになって不適。よって、５は最下段にはない。

次に、各数字が偶数か奇数かの組み合わせを考えてみましょう。
偶数＝●、奇数＝▲で表すことにします。
最上段を決めれば、中段以下は自動的に決まりますので、組み合わせは２×２×２＝８通りあります。

(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)
●●● ●● ●	●●▲ ●▲ ▲	●▲● ▲▲ ●	●▲▲ ▲● ▲	▲●● ▲● ▲	▲●▲ ▲▲ ●	▲▲● ●▲ ▲	▲▲▲ ●● ●

このうち、（１）、（４）、（６）、（７）は偶数、奇数が３個ずつではないので不適。
また、（８）は６が最上段にないので不適。
（２）と（５）は左右対称だから、（２）と（３）のタイプのみ調べれば良いことになります。

（２）のタイプ:(a)〜(d)の４通り

(a)	不適	不適	不適
６４▲ ２▲ ▲	６４５ ２１ １	６４３ ２１ １	６４１ ２３ １
(b)	適	不適	不適
６２▲ ４▲ ▲	６２５ ４３ １	６２３ ４１ ３	６２１ ４１ ２
(c)	不適	不適	適
４６▲ ２▲ ▲	４６５ ２１ １	４６３ ２３ １	４６１ ２５ ３
(d)	適	不適	不適
２６▲ ４▲ ▲	２６５ ４１ ３	２６３ ４３ １	２６１ ４５ １

　

（３）のタイプ:(a)〜(b)の２通り

(a)	不適	不適	適
６▲４ ▲▲ ２	６５４ １１ ０	６３４ ３１ ２	６１４ ５３ ２
(b)	不適	不適	不適
６▲２ ▲▲ ４	６５２ １３ ２	６３２ ３１ ２	６１２ ５１ ４

よって、解は次の４通りである。（左右対称なものを除く）

６２５ ４３ １

４６１ ２５ ３

２６５ ４１ ３

６１４ ５３ ２

なお、ありさのお父さんは、５を最上段、中段におく場合の２タイプに分けうまく解を導いている。

以上