第17問の解答


1.問題

問題図
左図のように、6つマス目があります。このマス目のなかに、1から6までの数字を使って、次のような規則を守るように置いていって下さい。
  • マス目数字は、上段の2つマス目数字の差(大きいほうから小さいほうを引く)になっている。(例えば、A1=A2-A3、A2=A5-A4、・・・)
  • 全ての数字は、必ずどこかのマス目に置かれている。
    (したがって、同じ数字が複数のマス目に置かれることはない)

(1)このような数字の置き方を1つ見つけて下さい。
(2)このような数字の置き方を出来るだけたくさん見つけて下さい。


2.解答例1(ちゃめさん、ありさのお父さん他)

差がである数字のペアは1〜6にないので、は最上段のみ置けることに注意しましょう。
また、が最下段にあるとしたら、差がになるペアはのみなので、が中段にあることになって不適。よって、は最下段にはない

次に、各数字が偶数奇数かの組み合わせを考えてみましょう。
偶数奇数で表すことにします。
最上段を決めれば、中段以下は自動的に決まりますので、組み合わせは2×2×2=8通りあります。

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
●●●
 ●●
  ● 
●●▲
 ●▲
  ▲ 
●▲●
 ▲▲
  ● 
●▲▲
 ▲●
  ▲ 
▲●●
 ▲●
  ▲ 
▲●▲
 ▲▲
  ● 
▲▲●
 ●▲
  ▲ 
▲▲▲
 ●●
  ● 
このうち、(1)、(4)、(6)、(7)偶数奇数が3個ずつではないので不適。
また、(8)が最上段にないので不適。
(2)(5)は左右対称だから、(2)(3)のタイプのみ調べれば良いことになります。

(2)のタイプ:(a)〜(d)の4通り

(a) 不適 不適 不適
64▲
  ▲ 
64
 1
  1 
64
 1
  1 
64
 3
  1 
(b) 不適 不適
62▲
  ▲ 
62
 3
  1 
62
 1
  3 
62
 1
  2 
(c) 不適 不適
46▲
  ▲ 
46
 1
  1 
46
 3
  1 
46
 5
  3 
(d) 不適 不適
26▲
  ▲ 
26
 1
  3 
26
 3
  1 
26
 5
  1 

 

(3)のタイプ:(a)〜(b)の2通り

(a) 不適 不適

 ▲▲
   

 11
   

 31
   

 53
   
(b) 不適 不適 不適

 ▲▲
  

 13
  

 31
  

 51
  

よって、解は次の4通りである。(左右対称なものを除く)

625
 43
  1
461
 25
  3
265
 41
  3
614
 53
  2

なお、ありさのお父さんは、を最上段、中段におく場合の2タイプに分けうまく解を導いている。

以上