第１８問の解答

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１．問題

次のような性質を持つ正の整数のうち、２番目に小さいものをそれぞれ見つけて下さい。 （１）数字を逆にすると（１２３４なら４３２１）、ちょうどもとの数の４倍になる。 （２）下２桁の数字を左端におくと（１２３４なら３４１２）、ちょうどもとの数の４倍になる。

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２．解答例

［設問１］（ちゃめさん他）

• 求める正の整数をＮとします。
  もし、Ｎが１桁なら数字を逆にしても同じ値だから４倍になり得ない。
  よって、Ｎは２桁以上。
  
  
• 次に、Ｎ＝ａＭｂとします。（ただし、ａ、ｂは１桁の整数。Ｍが０桁のときを含む、）
  ４×ａＭｂ＝ｂＭ'ａと、４倍しても桁数が変わらないのでａ≦２となり、また右辺は偶数なのでａ＝２となります。
  
  
• また、４×２Ｍｂ＝ｂＭ'２と、４倍しても桁上がりしないことから、ｂ≧８ですが、４×８＝３２、４×９＝３６なのでｂ＝８でなければなりません。
  
  
• Ｎが２桁としたら、Ｎ＝２８で、４×２８＝１１２となり不適。
  
  
• Ｎが３桁としたら、Ｎ＝２ｍ８で４×２ｍ８＝８ｍ２となることから、４×ｍ＋３＝ｍとなり不適。
  よって、Ｎは４桁以上となる。
  
  
• Ｎが４桁のとき、Ｍ＝ａｂとおくと、４×２ａｂ８＝８ｂａ２となることから、ａ≦２で、４×ｂ＋３ａ (mod 10)からａは奇数となり、ａ＝１。
  ４×２＋３１ (mod 10)、４×７＋３１ (mod 10)よりｂ＝２、７となるがｂ＝２は４×２１２８＝８５１２となり不適。ｂ＝７は４×２１７８＝８７１２となり適。
  よって、Ｎ＝２１７８。
  
  
• Ｎが５桁のとき、Ｍ＝ａｍｂとおくと、４×２ａｍｂ８＝８ｂｍａ２となることから、４桁のときと同様にして、ａ＝１、ｂ＝７となる。
  よって、４×ｍ＋３ｍ (mod 10)より、３×ｍ＋３０(mod 10)、従ってｍ＝９となる。４×２１９７８＝８７９１２より、Ｎ＝２１９７８は適。
  
  
• 以上から、題意を満たす２番目に小さい正整数は２１９７８となる。

　

以上

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３．解答例

［設問２］（ちゃめさん、ありさのお父さん他）

(参考)フェルマーの小定理 　pが素数のとき、p以下の任意の自然数aに対して ap-11(mod p) が成り立つ。 　　（ただし、ｍｎ(mod p)とは、m-nをpで割った余りが0のことを表す）

• 求める正の整数とその下２桁をＮ、ｐ、およびＮの桁数をｎとします。
  題意より、４×Ｎ＝（Ｎ−ｐ）/１００＋ｐ×１０^n-2
  　　　　４００×Ｎ＝（Ｎ−ｐ）＋ｐ×１０ⁿ
  　　　　３９９×Ｎ＝ｐ×（１０ⁿ−１）
  よって、３×７×１９×Ｎ＝ｐ×（１０ⁿ−１）
  
  

• n>1のとき、１０ⁿ−１が３の倍数であることは明らか。
  また、フェルマーの小定理より、１０⁶−１は７の倍数、１０¹⁸−１は１９の倍数。
  これより小さな桁数を調べてみると、
  

  ｎ	１０n(mod ７)	１０n(mod 19)
  １	３	１０
  ２	２	５
  ３	６	１２
  ４	４	６
  ５	５	３
  ６	１	１１

  となり、ｎ≦５では１０ⁿ−１が７の倍数および１９の倍数となることはない。
  
  

• Ｎが５桁以下としたら、ｐが７の倍数および１９の倍数でなけらばならない。
  すると、ｐは７×１９＝１３３の倍数となり、ｐが２桁に反するので不適。
  
  

• Ｎが６桁とする。
  ３×７×１９×Ｎ＝ｐ×（１０⁶−１）で１０⁶−１が７の倍数でしかも１９の倍数はでないので、ｐが１９の倍数となる。ｐ＝１９×ｍとする。
  ３×７×１９×Ｎ＝１９×ｍ×（１０⁶−１）
  Ｎ＝ｍ×（１０⁶−１）／（３×７）
  よって、Ｎ＝ｍ×４７６１９。
  
  Ｎが６桁でしかもｐが２桁となるのは、ｍ＝３、４、５のときであり、
  それぞれＮ＝１４２８５７、１９０４７６、２３８０９５となる。
  

• 以上から、題意を満たす２番目に小さい正整数は１９０４７６となる。

　

(フェルマーの小定理の証明） a と p が互いに素であることから、0a、1 a、 2a、・・・ 、 (p-1)aをpで割った余りをa0、a1、a2、・・・ap-1 とすると、これらは全てすべて異なることが分か る。  (もし、kama(mod p) と仮定すると、(k-m) a0(mod p) となり、p が素数なので、k=mとなる。) また、pで割った余りは0、1、2、・・・、p-1のp個しかないので、a0＝0を除くa1、a2、・・・ap-1は1、2、・・・、p-1を並べ替えたものになる。（a0＝0なので） 従って、　a・ 2a・ … ・ (p-1)aa1・a2・ … ・ap-11・2・ … ・(p-1) (mod p) 　　　ap-1×1・2・ … ・(p-1)1・2・ … ・(p-1) (mod p) よって、　ap-11 (mod p)

以上

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