第２０問の解答
１．問題
| ４個の正の整数があります。 これらの整数から２個ずつ取り出して積を計算すると６個の異なる整数を得ました。 これらを小さい順にならべると、６，１０，１４，１５，２１，３５になりました。 では、４個の正の整数はいったいどんな整数だったのでしょうか？ （おまけ） |
２．解答例1（tomhさん、清川育男さん、ちゃめさん、津田俊明さん、ありさのお父さん他）
６個の数字を二つの整数の積で表します。
６＝ １× ６
＝ ２× ３１０＝ １×１０
＝ ２× ５１４＝ １×１４
＝ ２× ７１５＝ １×１５
＝ ３× ５２１＝ １×２１
＝ ３× ７３５＝ １×３５
＝ ５× ７このうち、因数に１があると、相棒の数字が他にも現われなければならない（例えば、６＝１×６とすると、６が他に二つ現われてなければならない）が、そのような数字は一つもない。
よって、１を含まない方が、正しい答である：２、３、５、７。
実際、これら四つの数字は六つの積の中に３回ずつ現われているので題意を満たす。
以上
（おまけ）
６つの積を素因数分解すると、
２3×３、２5、２4×３、２3×３2、２2×３3、２4×３2
となります。全部かけると、２21×３9＝（２7×３3）3となるので、４数の積は２7×３3となります。
つまり、４つの数に２を７つ、３を３つ割り当てれば良いことになります。３のべきが１個の数が２つ（２3×３、２4×３）あるので、１つの数には３を１つだけ割り当てることになります。
３が１つ割り当てられる数が更に存在すれば、３のべきが１個の数は１つしかできないので、１つの数に３を２つ（つまり９）を割り当てます。
３のべきが３個になっている数（２2×３3）は、これら２つの数の積なので、この２数併せて２が２つ割り当てられます。
そして、３が１つ（２3×３、２4×３）と３が２つ（２3×３2、２4×３2）の数の他の素因数（２3、２4）を見ると同じなので、この２数には２が１つずつ割り当てられます。
これで４つの元数のうち２数は、６と１８と決まりました。
残る２数の積は２5ですが、２４をつくる必要から１つは４、残りが８と決まります。したがって小さい方から順に並べると ４，６，８，１８ となります。
（別解）
６個の数字を整数の積で表します。
２４＝ １× ２４
＝ ２× １２
＝ ３× ８
＝ ４× ６
３２＝ １×３２
＝ ２×１６
＝ ４× ８
４８＝ １×４８
＝ ２×２４
＝ ３×１６
＝ ４×１２
＝ ６× ８７２＝ １×７２
＝ ２×３６
＝ ３×２４
＝ ４×１８
＝ ６×１２
＝ ８× ９１０８＝ １×１０８
＝ ２× ５４
＝ ３× ３６
＝ ４× ２７
＝ ６× １８
＝ ９× １２１４４＝ １×１４４
＝ ２× ７２
＝ ３× ４８
＝ ４× ３６
＝ ６× ２４
＝ ８× １８
＝１２× １２３２＝１×３２とすると、１，３２が元の２数となるが、３２を因数に持つものは他にないので不適。
３２＝２×１６とすると、２，１６が元の２数となるが、１６を因数に持つものは他に３×１６、８×１６となるので、残りの２数が３、８となるが題意を満たさない。
３２＝４×８とすると、４，８が元の２数となる。
２４＝１×２４、２×１２、３×８のいずれかとすると、１，２，３が元の数になるが、４との積、１×４、２×４、３×４とも６つの積の中にないので不適。
よって、２４＝４×６となり、６が元の数になる。最後の数は、７２，１０８，１４４のそれぞれの共通因数である１８となる。
３．解答例２（Hamayanさん、ちゃめさん、K.Kさん他）
４つの整数を小さい順にａ，ｂ，ｃ，ｄとします。
ａ×ｂ＜ａ×ｃ＜ｂ×ｃ＜ｂ×ｄ＜ｃ×ｄ、およびａ×ｂ＜ａ×ｃ＜ａ×ｄ＜ｂ×ｄ＜ｃ×ｄ
より、ａ×ｂ＝６、ａ×ｃ＝１０、ｂ×ｄ＝２１、ｃ×ｄ＝３５・・・（１）となります。
よって、（ａ×ｃ）／（ａ×ｂ）＝ｃ／ｂ＝５/３ ・・・（２）となります。
ｂ×ｃ＜ａ×ｄと仮定すると、ｂ×ｃ＝１４、ａ×ｄ＝１５・・・（３） となるが、
（２）×（３）より、ｃ2＝７０/３となり不適。ａ×ｄ＜ｂ×ｃと仮定すると、ａ×ｄ＝１４、ｂ×ｃ＝１５ ・・・（４）となり、
（２）×（４）より、ｃ2＝２５となりｃ＝５。（２）より、ｂ＝３となり、（１）より、ａ＝２、ｄ＝７となる。
答ａ＝２、ｂ＝３、ｃ＝５、ｄ＝７
以上
（おまけ）
同様の議論で、
ａ×ｂ＝２４、ａ×ｃ＝３２、ｂ×ｄ＝１０８、ｃ×ｄ＝１４４・・・（１）’となります。よって、（ａ×ｃ）／（ａ×ｂ）＝ｃ／ｂ＝４/３ ・・・（２）’となります。
ｂ×ｃ＜ａ×ｄと仮定すると、ｂ×ｃ＝４８、ａ×ｄ＝７２・・・（３）’ となるが、
（２）’×（３）’より、ｃ2＝６４となりｃ＝８。（２）’より、ｂ＝６となり、（１）’より、ａ＝４、ｄ＝１８となる。
ａ×ｄ＜ｂ×ｃと仮定すると、ａ×ｄ＝４８、ｂ×ｃ＝７２ ・・・（４）’となり、
（２）’×（４）’より、ｃ2＝９６となり不適。
答ａ＝４、ｂ＝６、ｃ＝８、ｄ＝１８
