第２５問の解答
１．問題
| ｋｕｒｉさんは、３人の子供におみやげを買おうと思っておもちゃ店にいきました。 良さそうなおもちゃが５個見つかったので、このうちの３個を選んでちょうど５０００円にしようと思いました。 しかしながら、一生懸命計算してみると、３個の合計金額は、 では、５個のおもちゃの値段を答えて下さい。 |
２．解答例1
（カミナリ親父さん、ありっちさん、勢見賢人さん、Taroさん、SPACYさん、山さん他）
５個の中から３個選ぶのは、下表のように１０通りあります。
ここで、おもちゃの価格で同じものがもしあれば、３個の合計金額は最大７通りにしかならないことが分かるので、全て価格は異なることになります。
このうち、ａ＋ｂ＋ｃが最も価格が安く、ａ＋ｂ＋ｄがその次に安いことが分かります。
また、一番高いのがｃ＋ｄ＋ｅで、その次がｂ＋ｄ＋ｅになります。従って、
ａ＋ｂ＋ｃ＝２８００ ・・・ （１）
ａ＋ｂ＋ｄ＝３０００ ・・・ （２）
ｂ＋ｄ＋ｅ＝４６００ ・・・ （３）
ｃ＋ｄ＋ｅ＝５５００ ・・・ （４）
が成り立ちます。（２）−（１）より、ｄ−ｃ＝２０００
（４）−（３）より、ｃ−ｂ＝９００
よって、ｂ＝ｃ−９００、ｄ＝ｃ＋２０００。
これらを、（１）、（４）に代入して、ａ＝３７００−２ｃ、ｅ＝４６００−２ｃを得ます。
ａ＝３７００−２ｃ ・・・ （５）
ｂ＝ｃ−９００ ・・・ （６）
ｃ＝ｃ
ｄ＝ｃ＋２００ ・・・ （７）
ｅ＝４６００−２ｃ ・・・ （８）（６）、（７）より、 ｂ＋ｃ＋ｄ＝３ｃ−７００ ・・・ ３で割った余り２ ・・・ （９）
９通りある合計金額のうち、組合わせの分かった（１）から（４）を除く５通りについて、３で割った余りを求めると、
３３００ ・・・ 余り０ ・・・ （１０）
３９００ ・・・ 余り０ ・・・ （１１）
４１００ ・・・ 余り２ ・・・ （１２）
４２００ ・・・ 余り０ ・・・ （１３）
４４００ ・・・ 余り２ ・・・ （１４）
となる。（余りは、各桁の数字の合計からすぐに求まる）従って、ｂ＋ｃ＋ｄ＝３ｃ−７００は、４１００または４４００のいずれか。
３ｃ−７００＝４１００ のとき ｃ＝１６００ ・・・ （１５）
３ｃ−７００＝４４００ のとき ｃ＝１７００ ・・・ （１６）（５）〜（８）より、
i. ｃ＝１６００のとき、ａ＝５００、ｂ＝７００、ｃ＝１６００、ｄ＝１８００、ｅ＝２１００
ii. ｃ＝１７００のとき、ａ＝３００、ｂ＝８００、ｃ＝１７００、ｄ＝１９００、ｅ＝１９００iは、ｄ＝ｅ＝１９００になって不適。
iiは、３個すづの合計金額を計算すると、下表のようになって題意に適する。
答：５００円、７００円、１６００円、１８００円、２１００円
以上
３．解答例２（ノースダウンさん、清川育男さん、吉田和義さん他）
（１）〜（８）を得るまでは、解答例１と同様。
ここで、５個の中から３個選ぶのは１０通りあるのに、合計金額が９通りしかないことから、等しいものが１組あることが分かります。それを、ｓ0円とします。
１０通りの合計金額（ｓ0の重複を含む）を計算すると、
６ａ＋６ｂ＋６ｃ＋６ｄ＋６ｅ＝３５８００＋ｓ０
ｓ0＝６ｓ−３５８００＝６（ｓ−５９６）＋２ ・・・ （１７）
となり、ｓ0は６で割った余りが２となります。ところが実際に９通りある合計金額を、それぞれ６で割った余りは、
２８００ ・・・ 余り４
３０００ ・・・ 余り０
３３００ ・・・ 余り０
３９００ ・・・ 余り０
４１００ ・・・ 余り２
４２００ ・・・ 余り０
４４００ ・・・ 余り２
４６００ ・・・ 余り４
５５００ ・・・ 余り４
なので、ｓ0＝４１００、４４００のいづれかになります。（１７）より、ｓ＝（３５８００＋ｓ0）／６、
（１）＋（４）より、（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ）＋ｃ＝８３００、
よって、ｃ＝８３００−ｓ。
ｓ0＝４１００のとき、ｓ＝６６５０、ｃ＝１６５０
ｓ0＝４４００のとき、ｓ＝６７００、ｃ＝１６００もし、ｃ＝１６５０とすると、（９）より ｂ＋ｃ＋ｄ＝３ｃ−７００＝４２５０ となり、
９通りある合計金額のいづれにも該当しないので不適。
よって、ｃ＝１６００。以下、解答例１と同様にして、
ａ＝５００、ｂ＝７００、ｃ＝１６００、ｄ＝１８００、ｅ＝２１００
となる。以上