第３７２問の解答

問題［平面図形］

左図のような△ＡＢＣがあります。

辺ＢＣ上に点Ｅをとり、ＡＧ＝ＧＥ＝１２cmとなる点をＧとします。また、直線ＢＧと辺ＡＣの交点をＦとすると、ＢＧ＝１８cm、ＧＦ＝６cmとなりました。さらに、線分ＣＧの長さは３０cmとなりました。

このとき、△ＡＢＣの面積を求めてください。

解答例１

中村明海さん、たみてんさん、小西孝一さん、あ～く＠旧Ｎさん、kataさん、ミミズクはくず耳さん、すてっぷさん、M.Hossieさん、をめがさん、UnderBirdさん、他多数

まず、BE＝ECとなることを示しましょう。
S₁＝△GBC、S₂＝△GBC、S₃＝△GBCとおき、面積比を求めます。

△ABG：△BGE＝△AGC：△CGE：＝AG：GE＝１：１、
（△ABG＋△AGC）：（△BGE＋△CGE）＝（S₁＋S₃）：S₂＝１：１
よって、S₂＝S₁＋S₃　・・・　（１）

同様に、（S₁＋S₂）：S₃＝BG：GF＝３：１
よって、　S₁＋S₂＝３S₃・・・　（２）

（１）、（２）より、
　S₁＋(S₁＋S₃)＝３S₃
　S₃＝S₁（１）より、　S₂＝２S₁　

従って、
　S₁：S₂：S₃＝１：２：１
となります。

よって、
　BE：EC＝S₁：S₃＝１：１、AD：DB＝S₃：S₂＝１：２、AF：FC＝S₁：S₂＝１：２、
および、
　CG：GD＝（S₂＋S₃）：S₁＝３：１
が示されます。

さて、ここから∠BGE＝９０°を示します。

算チャレ的図形の回転で解くと次のようになります。（中村明海さん他）
点Eを中心にして△GECを回転し、CをBに重ねた三角形をG'EBとします。

すると、∠GEB＋∠BEG'＝∠GEB＋∠CEG＝１８０°より、
　点G、E、G'は一直線上に並びます。

△GBG'において、
　GB＝１８cm、GG'＝GE×２＝２４cm、BG'＝CG＝３０cm
となり、
　GB：GG'：BG'＝１８：２４：３０＝３：４：５

従って、△GBG'は、∠BGG'＝９０°の直角三角形になります。

△GBC＝△GBG'＝１/２×BG×GG'＝１/２×１８×２４＝２１６ｃｍ²

よって、
　△ABC＝△GBC×２＝４３２ｃｍ²と求まります。

答：　４３２cm²

以上

（別解１）あ～く＠旧Ｎさん他

点Dを通り直線AEに引いた直線とBCの交点をKとし、DKとBFの交点をHとします。

AEとDKは平行だから、△ABGと△DBHは相似、
よって、GH：HB＝AD：DB＝1：２より、GH＝６cm、HB＝１２cm。
また、AG：DH＝AB：DB＝３：２より、DH＝８cmを得ます。

従って、△DHGの三辺の比＝６：８：１０＝３：４：５となり、直角三角形であることが分かります。

よって、DKおよびAEはBFと直交するので、
　△ABE＝１/２×AE×BG＝１/２×２４×１８＝２１６ｃｍ²
よって、
　△ABC＝△ABE×２＝４３２ｃｍ²と求まります。

（別解２）M.Hossieさん、他

ｃ＝BE＝ECとおきます。
中線定理により、 GB²＋GC²＝２（ｃ²＋GE²）、
１８²＋３０²＝２（ｃ²＋１２²）、
ｃ²＝（１８²＋３０²）/２－１２²＝４６８、
よって、ｃ＝√（４６８）＝６√（１３）となります。

θ＝∠BGCとおくと、△GBCに関して余弦定理より、
cosθ＝（GB²＋GC²－（２ｃ）²）／（２GB×GC）
　　＝－６４８/１０８０
　　＝－３/５

従って、
sinθ＝√（１－cos²θ）＝４/５
△GBC＝１/２×GB×GC×sinθ
　　　　＝１/２×１８×３０×４/５
　　　　＝２１６cm²
よって、
　△ABC＝△GBC×２＝４３２ｃｍ²と求まります。

解答例２

takaisaさん、他

BGを延長し、GH＝GB＝１８cmとなるように点Hを取ります。

△AGHと△EGBについて、AG＝EG＝１２cm、GH＝GB＝１８cm、∠AGH＝∠EGBより、
二辺と挟角が等しいので合同。
従って、AH＝BE、∠AHG＝∠EBG、よってAHとBEは平行となります。

すると、△AFHと△CFBは相似で相似比＝FH：FB＝１２：２４＝１：２、
よって、AH：BC＝１：２となり、BE＝ECが成り立ちます。

△GHCについて、GC：HC：GC＝１８：２４：３０＝３：４：５となることから、
△GHCは、∠GHC＝９０°の直角三角形となることが分かります。

よって、△GHC＝１/２×GH×HC＝１/２×１８×２４＝２１６ｃｍ²。

AHとECが平行でAH＝ECより、四角形AECHは平行四辺形、
よって、△AEC＝△ACH＝△GHC＝２１６ｃｍ²。

従って、△ABC＝△AEC×２＝４３２ｃｍ²と求まります。

解答例３

yuhtoさん、高橋　道広さん、他

点Eを通りBFと平行に引いた直線とACの交点をHとし、EHとDCの交点をKとします。

GFとEHが平行だから、△AEHに関して中点連結定理より、
　AF＝FH、およびEH＝GF×２＝１２cm。　・・・　（１）

今度は△CFBに関して、FBとHEが平行でFB：HE＝２４：１２＝２：１、
よって中点連結定理より、BE＝EC、FH＝HCがいえます。

そして△CFGに関して再び中点連結定理より、
　GK＝KC＝１５cm、KH＝GF×１/２＝３cmとなり、
　EK＝EH－KH＝１２－３＝９cmとなります。

よって、△EKGに関して、EK：GE：GK＝９：１２：１５＝３：４：５より、
　△EKGは∠GEK＝９０°の直角三角形となります。

△AEH＝１/２×AE×EH＝１/２×２４×１２＝１４４cm²。
△AEC＝３/２×△AEH＝２１６cm²（AH：AC＝２：３だから）、
従って、△ABC＝△AEC×２＝４３２ｃｍ²と求まります。

（その他の解法）

ベクトルを用いて解く　・・・　Toru Fukatsuさん、他
　
座標系で解く　・・・　有無相生さん、他


	まず、BE＝ECとなることを示しましょう。 S₁＝△GBC、S₂＝△GBC、S₃＝△GBCとおき、面積比を求めます。 △ABG：△BGE＝△AGC：△CGE：＝AG：GE＝１：１、（△ABG＋△AGC）：（△BGE＋△CGE）＝（S₁＋S₃）：S₂＝１：１よって、S₂＝S₁＋S₃　・・・　（１）同様に、（S₁＋S₂）：S₃＝BG：GF＝３：１よって、　S₁＋S₂＝３S₃・・・　（２）（１）、（２）より、　S₁＋(S₁＋S₃)＝３S₃ 　S₃＝S₁（１）より、　S₂＝２S₁　従って、　S₁：S₂：S₃＝１：２：１となります。よって、　BE：EC＝S₁：S₃＝１：１、AD：DB＝S₃：S₂＝１：２、AF：FC＝S₁：S₂＝１：２、および、　CG：GD＝（S₂＋S₃）：S₁＝３：１が示されます。さて、ここから∠BGE＝９０°を示します。算チャレ的図形の回転で解くと次のようになります。（中村明海さん他）点Eを中心にして△GECを回転し、CをBに重ねた三角形をG'EBとします。すると、∠GEB＋∠BEG'＝∠GEB＋∠CEG＝１８０°より、　点G、E、G'は一直線上に並びます。 △GBG'において、　GB＝１８cm、GG'＝GE×２＝２４cm、BG'＝CG＝３０cm となり、　GB：GG'：BG'＝１８：２４：３０＝３：４：５従って、△GBG'は、∠BGG'＝９０°の直角三角形になります。 △GBC＝△GBG'＝１/２×BG×GG'＝１/２×１８×２４＝２１６ｃｍ² よって、　△ABC＝△GBC×２＝４３２ｃｍ²と求まります。答：　４３２cm² 以上（別解１）あ～く＠旧Ｎさん他点Dを通り直線AEに引いた直線とBCの交点をKとし、DKとBFの交点をHとします。 AEとDKは平行だから、△ABGと△DBHは相似、よって、GH：HB＝AD：DB＝1：２より、GH＝６cm、HB＝１２cm。また、AG：DH＝AB：DB＝３：２より、DH＝８cmを得ます。従って、△DHGの三辺の比＝６：８：１０＝３：４：５となり、直角三角形であることが分かります。よって、DKおよびAEはBFと直交するので、　△ABE＝１/２×AE×BG＝１/２×２４×１８＝２１６ｃｍ² よって、　△ABC＝△ABE×２＝４３２ｃｍ²と求まります。（別解２）M.Hossieさん、他ｃ＝BE＝ECとおきます。中線定理により、 GB²＋GC²＝２（ｃ²＋GE²）、１８²＋３０²＝２（ｃ²＋１２²）、ｃ²＝（１８²＋３０²）/２－１２²＝４６８、よって、ｃ＝√（４６８）＝６√（１３）となります。 θ＝∠BGCとおくと、△GBCに関して余弦定理より、 cosθ＝（GB²＋GC²－（２ｃ）²）／（２GB×GC）　　＝－６４８/１０８０　　＝－３/５従って、 sinθ＝√（１－cos²θ）＝４/５ △GBC＝１/２×GB×GC×sinθ 　　　　＝１/２×１８×３０×４/５　　　　＝２１６cm² よって、　△ABC＝△GBC×２＝４３２ｃｍ²と求まります。


	BGを延長し、GH＝GB＝１８cmとなるように点Hを取ります。 △AGHと△EGBについて、AG＝EG＝１２cm、GH＝GB＝１８cm、∠AGH＝∠EGBより、二辺と挟角が等しいので合同。従って、AH＝BE、∠AHG＝∠EBG、よってAHとBEは平行となります。すると、△AFHと△CFBは相似で相似比＝FH：FB＝１２：２４＝１：２、よって、AH：BC＝１：２となり、BE＝ECが成り立ちます。 △GHCについて、GC：HC：GC＝１８：２４：３０＝３：４：５となることから、 △GHCは、∠GHC＝９０°の直角三角形となることが分かります。よって、△GHC＝１/２×GH×HC＝１/２×１８×２４＝２１６ｃｍ²。 AHとECが平行でAH＝ECより、四角形AECHは平行四辺形、よって、△AEC＝△ACH＝△GHC＝２１６ｃｍ²。従って、△ABC＝△AEC×２＝４３２ｃｍ²と求まります。


	点Eを通りBFと平行に引いた直線とACの交点をHとし、EHとDCの交点をKとします。 GFとEHが平行だから、△AEHに関して中点連結定理より、　AF＝FH、およびEH＝GF×２＝１２cm。　・・・　（１）今度は△CFBに関して、FBとHEが平行でFB：HE＝２４：１２＝２：１、よって中点連結定理より、BE＝EC、FH＝HCがいえます。そして△CFGに関して再び中点連結定理より、　GK＝KC＝１５cm、KH＝GF×１/２＝３cmとなり、　EK＝EH－KH＝１２－３＝９cmとなります。よって、△EKGに関して、EK：GE：GK＝９：１２：１５＝３：４：５より、　△EKGは∠GEK＝９０°の直角三角形となります。 △AEH＝１/２×AE×EH＝１/２×２４×１２＝１４４cm²。 △AEC＝３/２×△AEH＝２１６cm²（AH：AC＝２：３だから）、従って、△ABC＝△AEC×２＝４３２ｃｍ²と求まります。