第１０６問の解答
１．問題 ［平面図形］
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２．解答例１（加藤瑛美さん、ありさのお父さん他）
Ｅから辺ＢＣに下ろした垂線の足をＨ、
辺ＡＢに下ろした垂線の足をＩとする。ＥＣ＝３ｃｍだからＥＨ＝３/√２ｃｍ、
ＡＥ＝９ｃｍだからＥＩ＝９/√２ｃｍ。よって、
正方形ＢＥＦＧの面積
＝ＢＥ2
＝ＥＨ2＋ＥＩ2
＝９/２＋81/2
＝４５ｃｍ2答：４５ｃｍ2
以上
３．解答例２（杉本未来さん他）
Ｂを原点、ＢＣをｘ軸、ＡＢにをｙ軸とする座標軸で考える。
ＡＢ＝ＢＣ＝ａとすると、
Ａ＝（0,a）、Ｂ＝（a,0）となる。ＥはＡＣを３：１に内分する点だから、
Ｅ＝1/4×Ａ＋3/4×Ｃ
＝（3a/4，a/4）よって、正方形ＢＥＦＧの面積
＝ＢＥ2
＝（3a/4）2＋（a/4）2
＝5/8×a2
＝5/8×(122×1/2)
＝４５ｃｍ2
４．解答例３（おりくん他）
対角線ＡＣ、ＢＤの交点をＰ、
ＡＥ＝ａ、ＥＣ＝ｂとする。
ＡＰ＝ＡＣ/2＝（ａ+b)/2
ＰＥ＝PC-EC＝（ａ+b)/2-b
＝（ａ-b)/2よって、正方形ＢＥＦＧの面積
＝ＢＥ2
＝（(a+b)/2）2＋（(a-b)/2）2
＝（a2+b2)/2
＝（92+32)/2
＝４５ｃｍ2
５．解答例４（まさぴょん他）
左図のように、正方形ＢＬＭＨ、ＥＨＣＪを作ると、ＢＨ：ＨＣ＝ＡＥ：ＥＣ＝３：１。 正方形ＢＥＦＧの面積をＳとすると、
Ｓ＝１２2/2=72cm2。ピタゴラスの定理より、
正方形ＢＥＦＧの面積
＝ＢＬＭＨの面積＋ＥＨＣＪの面積
＝(3/4)2×Ｓ＋(1/4)2×Ｓ
＝5/8×Ｓ
＝5/8×72
＝４５ｃｍ2
６．解答例５（長野美光さん他）
正方形ＢＥＦＧを頂点Ｅが辺ＣＤ上にくるまで、右方向に移動する。
ＣＲ：ＲＤ＝ＥＣ：ＡＥ＝１：３。ＢＱ＝ＥＲ＝1/4×ＢＣより、
ＢＱ：ＱＣ＝１：３。
よって、△ＱＣＲと△ＲＤＳは合同。ＧＢ＝ＢＥ、ＢＡ＝ＢＣ、角ＧＢＡ＝角ＥＢＣより、△ＡＧＢと△ＣＥＢは合同。
よって、
ＧＰ＝ＥからＢＣへ下ろした垂線の高さ
＝ＲＣ＝ＥＲ
従って、Ｐは辺ＡＢ上にあることなり、
結局正方形ＰＱＲＳは、ＡＢＣＤに内接する。従って、△ＰＢＱ、△ＳＡＰも△ＱＣＲと合同。
ＡＢＣＤの面積＝Ｓとすると、
正方形ＢＥＦＧの面積
＝Ｓ−△ＱＣＲの面積×４
＝｛１−(3/4)×(1/4)×1/2×４｝×Ｓ
＝5/8×Ｓ
＝5/8×72
＝４５ｃｍ2
７．解答例６（ヒデー王子さん他）
解答例５と同様にして、△ＡＧＢと△ＣＥＢは合同。 よって、四角形ＡＧＢＥの面積
＝△ＡＢＥ＋△ＡＧＢ
＝△ＡＢＥ＋△ＣＥＢ
＝△ＡＢＣ
＝３６ｃｍ2。また、ＡＧ＝ＣＥ＝３ｃｍ、
角ＥＡＧ＝角ＢＡＧ＋角ＥＡＢ
＝４５＋４５＝９０°。よって、
△ＥＡＧ＝1/2×３×９＝２７/２ｃｍ2。従って、
△ＥＧＢ＝四角形ＡＧＢＥ−△ＥＡＧ
＝３６−２７/２
＝４５/２ｃｍ2。よって、
正方形ＢＥＦＧの面積
＝△ＥＧＢ×２
＝４５ｃｍ2
８．解答例７（エウロパさん他）
Ｅより辺ＡＤに垂線ＥＨを下ろす。
ＡＨ：ＨＤ＝ＡＥ：ＥＣ＝３：１。また、ＥＤ＝ＢＥ＝ＥＦより、
三角形ＥＤＦは、２等辺三角形となり、
ＦＨ＝ＨＤ。よって、ＡＦ：ＦＨ：ＨＤ＝２：１：１。
また、△ＡＰＦと△ＣＰＢは相似で、、
相似比はＢＣ：ＡＦ＝２：１。よって、ＡＰ＝ＡＣ×1/3＝４ｃｍ、
ＰＥ＝ＡＥ−ＡＰ＝５ｃｍ。従って、
△ＰＢＥ＝△ＡＢＣ×5/12
＝３６×5/12
＝１５ｃｍ2。よって、
△ＢＥＦ＝△ＰＢＥ×3/2＝４５/2ｃｍ2。正方形ＢＥＦＧの面積
＝△ＢＥＦ×２
＝４５ｃｍ2
