第176問の解答 設問(1)


1.問題 [空間図形] 設問(1)

問題図

(1) 一辺の長さが2cm正四面体は、一辺の長さが1cm正四面体(ア)と、
一辺の長さが1cm正八面体(イ)でできています。
ア、イに当てはまる整数を答えてください。

2.解答例

下図のように、正四面体各辺の中点を結んでできる立体は、正八面体になります。

参考図1 (参考)マウスでドラッグして下さい。

大きい正四面体(辺の長さ2cm)は、正八面体(辺の長さ1cm)1個各頂点の部分に残る小さい正四面体(辺の長さ1cm)4個に分かれます。

答え:(ア)4個 (イ)1個


3.参考

立方体の対角線を下図のように結ぶと正四面体ができます。

参考図1 (参考)マウスでドラッグして下さい。

この、正四面体の体積と立方体の体積比を求めてみましょう

立方体の1辺の長さをとします。
立方体の体積=13

各頂点にある三角錘の体積=1/3×(1/2×12)×1=1/6

よって、正四面体の体積=1−1/6×4=1/3

従って、正四面体の体積:立方体の体積=1:3となります。


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