第１７７問の解答

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１．問題　［規則性］

２つの整数Ａ、Ｂがあります。この２つの整数をもとに、 　Ａ＋Ｂ＝Ｃ 　Ｂ＋Ｃ＝Ｄ 　Ｃ＋Ｄ＝Ｅ 　　・・・ 　Ｌ＋Ｍ＝Ｎ と、Ｎまで順に求めました。 ここで、ＡからＮまでの和を求めると、５３０７となったそうです。 　このとき、Ｉはいくつでしょうか。

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２．解答例１（Miki Sugimotoさん、T.Endoさん、ヒデー王子さん他多数）

A、B、C、・・・をＦ₀、Ｆ₁、Ｆ₂、・・・、およびＦ₀からＦ_ｎまでの和をＳ_nとします。
I=Ｆ₈、N=Ｆ₁₃、Ｓ₁₃=Ｆ₀＋・・・＋Ｆ₁₃となります。 
題意より、Ｆ₂から順番に求めていくと下表のようになります。

F_nおよび各F_nのＡ、Ｂの係数は、いわゆるフィボナッチ数列になっています。
また、S_nを求めるのに、S₁₃=F₁₅-F₁等となることを利用すれば、計算が簡単です。
このことは、次のようにして分かります。（別解：参考）

題意より、F₀=F₂-F₁、F₁=F₃-F₂、F₂=F₃-F₁、・・・、F₁₃=F₁₅-F₁₄。
辺々加えると、
　F₀＋F₁＋F₂＋・・・＋F₁₃=（F₂-F₁）＋（F₃-F₂）＋（F₃-F₁）＋・・・＋（F₁₅-F₁₄）
　　＝F₁₅-F₁

よって、I=Ｆ₈=１３Ａ＋２１Ｂ、
　　　Ｓ₁₃=３７７Ａ＋６０９Ｂ＝２９（１３Ａ＋２１Ｂ）＝５３０７

これより、Ｉ＝５３０７／２９＝１８３となります。

答：１８３

　以上

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（参考）
この問題のように、Ｆ_n＝Ｆ_n-1＋Ｆ_n-2となる漸化式で与えられる数列をフィボナッチ数列といいます。

フィボナッチ数列の一般式は、ｘ²−ｘ−１＝０の２根α＝（√５＋１）/２、β＝（√５＋１）/２を用いて、Ｆ_n＝pαⁿ＋qβⁿ（p、qは定数）と表すことが出来ます。
　（「算数チャレンジャーに挑戦」第１９問参照）

これを用いると、
Ｓ_n＝F₀＋F₁＋F₂＋・・・＋F_n
　　＝(pα⁰＋qβ⁰）＋(pα¹＋qβ¹）＋(pα²＋qβ²）・・・＋(pαⁿ＋qβⁿ）
　　＝p（α⁰＋α¹＋α²＋・・・＋αⁿ）＋q（β⁰＋β¹＋β²＋・・・＋βⁿ）
　　＝p（αⁿ⁺¹−１）/（α−１）＋q（βⁿ⁺¹−１）/（β−１）

ここで、α²−α−１＝０より、α（α−１）＝１、よってα−１＝1/α等を用いて、
Ｓ_n＝p（αⁿ⁺¹−１）α＋q（βⁿ⁺¹−１）β
　　＝p（αⁿ⁺²−α)＋q（βⁿ⁺²−β)
　　＝pαⁿ⁺²＋qβⁿ⁺²−（pα＋qβ)
　　＝Ｆ_n+2−Ｆ₁

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