第１８０問の解答

１．問題　［場合の数］

　マサルさんの経営する店は、１個５０円の商品だけを売っている「５０円ショップ」です。

　ある朝、開店してみると、５０円玉が１枚もないことに気づきました。これではおつりを出すことが出来ません。

　結局この日は、５０円玉しか持っていない人と１００円玉しか持っていない人が同数だけ来たのですが、うまい具合にお客さんが来てくれたので、１００円玉しか持っていない人に「おつりがないからお断り」はしないで済んだそうです。

　このとき、例えば全部で４人のお客さんが来店したとすると、マサルさんの硬貨の受け取り方は、

　　　　Ａ.５０円玉→　５０円玉→１００円玉→１００円玉
　　　　Ｂ.５０円玉→１００円玉→　５０円玉→１００円玉

　の２通りが考えられますね。

　さて、全部で１０人のお客さんが来たとすると、マサルさんの硬貨の受け取り方は何通り考えられるでしょうか。


注・・・１人のお客さんは１個の商品だけを買うものとします。また、５０円玉、１００円玉以外の硬貨・紙幣は全く持ってないものとします。

２．解答例１（うつさん、南の源さん他多数）

５０円玉しか持っていない人が来ることをＮ、１００円玉しか持っていない人が来ることをＥと表すことにすると、題意を満たす受け取り方は、下図のような５×５の格子上を北に進むことをＮ、東に進むことをＥと表したときの、最短経路と対応する。

参考図1

ただし、「どの格子点でもそれまでのＥの個数よりＮの個数のほうが多い」ことが条件になるので、「×印より右下方向へは進めない」ことになります。

最短経路の個数は、下図のように、各格子点について南から来る経路と西から来る経路の和となるので、Ａ地点から順次計算していけば良いことになる。

参考図2

従って、求める最短経路の個数は４２個なので、求める硬貨の受け取り方も４２通りとなる。

答：４２通り

　以上

３．解答例２（あれふさん、Tak'Sakaiさん、清川育男さん他多数）

題意を満たす場合の数は、カタラン数と呼ばれ、
Ｋ（５）
　＝2・5C5/(5+1)
　＝(10・９・８・７・６/５・４・３・２・１)/６
　＝４２通り
で求められる。

なお、カタラン数については算チャレ１、２や私の「算数チャレジャーに挑戦第６問」等にも出たことがあります。