第２１１問の解答

１．問題　［平面図形］

問題図

上の図のような三角形ＡＢＣがあり、その面積は３６cm2です。
いま、辺ＡＢを１：２に分ける点をＲ、辺ＢＣを１：２に分ける点をＰ、辺ＣＡを１：２に分ける点をＱとし
ます。

　さて、ＡＰ、ＢＱ、ＣＲを結び、それら（ＡＰ、ＢＱ、ＣＲ）を３辺とする三角形を作るとき（図２参
照）、その面積は何cm2でしょうか？

２．解答例１（たなかさん、あすとさん、長野美光さん、萬田銀次郎さん、他多数）

「算数チャレンジャーに挑戦」第２９問に類題があります。

参考図1

真ん中の三角形をＤＥＦとすると、△ＤＥＦ＝△ＡＢＣ×１／７。
ＡＰ：ＦＤ＝ＢＱ：ＤＥ＝ＣＲ：ＥＦ＝７：３。

よって、求める三角形の面積
　　＝△ＤＥＦ×（７/３）2
　　＝△ＡＢＣ×１/７×４９/９
　　＝３６×７/９
　　＝２８cm2。

答：２８cm2

　以上

３．解答例２（ヒデー王子さん、糸瀬善人さん、他）

△ABCを回転移動し辺ABの上にくっつけて 、平行四辺形AC'BCを作ります。

参考図2


Ｑ、Ｒが動いた点をQ'、R'とすると、BQ'：Q'C'＝２：１、AR'：R'B＝２：１。

AQ＝BQ'でAQ//BQ'より、AQ'BQも平行四辺形、よってAQ'＝BQ。

BR'：R'A＝BP：PC＝２：１より、R'P//AC、R'P＝AC×１/３。
BC//ACより、C'Q'//R'P、C'Q'＝BC'×１/３＝R'P。　・・・（１）

従って、CQ'PR'も平行四辺形、よってQ'P＝C'R'。
△BC'R'は△ACRを回転させたものだから、C'R'＝CR。　・・・（２）
よって、Q'P＝CR。

以上から、求める三角形は△APQ'と合同。
△ＡＢＣ＝Ｓとおくと、
△APQ'＝平行四辺形AC'BC−（△AQ'C'＋△APC＋△PBQ'）
　　＝Ｓ×２−（Ｓ×１/３＋Ｓ×２/３＋Ｓ×１/３×２/３）
　　＝Ｓ×７/９
　　＝２８cm2。

４．解答例３（H.Takaiさん、うっしーさん、他）

AからRCに平行に引いた直線とBCの延長との交点をＧとし、
ＱからＢＧに引いた直線とＡＧとの交点をＤとします。

参考図3

ＲＣ//ＡＧより、ＢＲ：ＲＡ＝ＢＣ：ＣＧ＝２：１。
よって、ＣＧ＝ＢＣ×１/２。ＡＧ＝ＲＣ×３/２。

ＱＤ//ＣＧより、ＡＱ：ＱＣ＝ＡＤ：ＤＧ＝２：１、
ＡＤ＝ＡＧ×２/３＝ＲＣ×３/２×２/３＝ＲＣ。　・・・（１）

ＱＤ＝ＣＧ×２/３＝ＢＣ×１/２×２/３＝ＢＣ×１/３＝ＢＰ。
ＢＰ//ＱＤだから、ＢＰＤＱは平行四辺形となり、ＢＱ＝ＰＤ。　・・・（２）

以上より、求める三角形と△ＡＰＤは合同。

Ｓ＝△ＡＢＣとおくと、
△ＡＰＧ＝△ＡＰＣ＋△ＡＣＧ＝Ｓ×２/３＋Ｓ×１/２＝Ｓ×７/６。
△ＡＰＤ＝△ＡＰＧ×２/３＝Ｓ×７/６×２/３＝Ｓ×７/９＝２８ｃｍ2。

５．解答例４（dragon-kさん、他）

AからPAに平行に引いた直線とＡからBCに平行に引いた直線の交点をＤとし、ＢＣを２：１に内分する点をＥとします。

参考図4

DA//ＢＰ、ＤＢ//ＡＰより、ＤＢＰＡは平行四辺形。
よって、ＤＢ＝ＡＰ、ＤＡ＝ＢＰ。　・・・（１）

ＤＡ//ＥＣで、ＥＣ＝ＢＣ×１/３＝ＢＰ＝ＤＡ。
よって、ＤＥＣＡは平行四辺形となり、ＤＥ＝ＡＣ。

ＤＡ//ＢＥより△ＡＤＲ∽△ＢＲＥ、
よって、ＤＲ：ＲＥ＝ＤＡ：ＢＥ＝ＥＣ：ＢＥ＝１：２。

従って、ＤＲ＝ＤＥ×１/３＝ＡＣ×１/３＝ＱＣ。
ＤＲ//ＱＣ、ＤＲ＝ＱＣより、ＤＲＣＱは平行四辺形。
よって、ＤＱ＝ＲＣ。　・・・（２）

以上より、求める三角形と△ＤＢＱは合同。

△ＤＢＱ＝台形ＤＢＣＡ−（△ＱＢＣ＋△ＤＡＱ）
台形ＤＢＣＡ＝△ＡＢＣ＋△ＡＢＤ＝Ｓ＋Ｓ×１/３＝Ｓ×４/３。
△ＱＢＣ＝Ｓ×１/３。
△ＤＡＱ＝△ＡＤＣ×２/３＝△ＡＥＣ×２/３
　　＝Ｓ×１/３×２/３＝Ｓ×２/９。

よって、△ＤＢＱ＝Ｓ×４/３−Ｓ×１/３−Ｓ×２/９＝Ｓ×７/９＝２８cm2。