第２２０問の解答

１．問題　［空間図形］

ある町には、３本の煙突Ａ、Ｂ、Ｃがたっているそうです。
煙突Ａは高さ４００ｍ、煙突Ｂは高さ３６０ｍで、煙突Ｃは煙突Ａ、Ｂよりも低いそうです。

いま、Ｐ地点からは、煙突Ａの先端と煙突Ｂの先端がちょうど重なって見えたそうです。
また、Ｑ地点からは、煙突Ａと煙突Ｃの先端が、Ｒ地点からは煙突Ｂと煙突Ｃの先端が
ちょうど重なって見えました。
Ｐ地点とＱ地点は１０００ｍ離れており、Ｑ地点とＲ地点は１４００ｍ離れているそうです。

では、煙突Ｃの高さは何ｍでしょうか。

（注意）
煙突Ａ、Ｂ、ＣおよびＰ地点、Ｑ地点、Ｒ地点は同一の平らな地面の上にあるものと します。

２．解答例１（うっしーさん、DrKさん、ＫＩＮさん、noetherさん、dragon-kさん、M.Hossieさん、航介さん、他多数）

煙突Ａ、Ｂ、Ｃの先端をＡ’、Ｂ’、Ｃ’とします。

図１
参考図1		 図２
参考図2

三角形Ａ’Ｂ’Ｃ’を含む平面と地面（三角形ＡＢＣを含む平面） の交わりは直線になります。
Ｐ、Ｑ、Ｒ とも、両方の平面に含まれるので、その交線上にあります。

図１で、△Ａ’ＡＰと△Ｂ’ＢＰは相似だから、
　ＡＰ：ＢＰ＝４００：３６０＝１０：９、
よって、ＡＰ：ＡＢ＝Ａ’Ｐ：Ａ’Ｂ’＝１０：１　・・・　（１）。

図２で、△ＢＰＲと直線ＡＱに関して、メネラウスの定理より、
　ＢＡ/ＡＰ・ＰＱ/ＱＲ・ＲＣ/ＣＢ＝１
　１/１０・１０/１４・ＲＣ/ＣＢ＝１
よって、ＲＣ：ＣＢ＝１４：１。

図１で、△Ｂ’ＢＲと△Ｃ’ＣＲは相似だから、
　Ｂ’Ｂ：ＣＣ＝ＢＲ：ＣＲ＝１５：１４、
よって、Ｃ’Ｃ＝３６０×１４/１５＝３３６ｍとなります。

答 ３３６ｍ

　以上

３．解答例２（トトロ＠Ｎさん、萬田銀次郎さん、他）

煙突Ａ、Ｂ、Ｃの先端をＡ’、Ｂ’、Ｃ’とします。
解答例１と同様にして、Ｐ、Ｑ、Ｒは一直線上にあります。
Ｂ’からＰＲに平行に直線を引き、Ａ’Ｑとの交点をD’、その足下をＤとします。

参考図3

ＰＱとＢ’Ｄ’が平行だから、三角形Ａ’ＰＱとＡ’Ｂ’Ｄ’は相似。
（１）より、ＰＱ：Ｂ’Ｄ’＝Ａ’Ｐ：Ａ’Ｂ’＝Ａ’Ｑ：Ａ’Ｄ’＝１０：１。　・・・　（２）
よって、
　Ｂ’Ｄ’＝ＰＱ×１/１０＝１００ｍ、
　Ｄ’Ｄ＝Ａ’Ａ×９/１０＝３６０ｍ。　・・・　（３）

また、ＱＲとＢ’Ｄ’が平行だから、三角形Ｃ’ＱＲとＣ’Ｄ’Ｂ’は相似。
　ＱＣ’：Ｃ’Ｄ’＝ＱＲ：Ｂ’Ｄ’＝１４：１、
よって、
　Ｃ’Ｃ＝Ｄ’Ｄ×Ｃ’Ｄ’/ＱＤ’＝３６０×１４/１５＝３３６ｍ。