第242問の解答


1.問題 平面図形

問題図
AB12cmBC13cm
ABC=∠ACB×2の△ABCがあります。

からBCに垂線AHを下ろすとき、△ABHと△ACH面積比を求めてください。

 


2.解答例1みみずくはくず耳さん、Taroさん、BossFさん、あやのりんさん、あんみつさん圭太さん、木乃伊さん、他多数)

AHを軸に△ABHを折り返し、△AB'Hとする。

参考図1

∠AB'H=∠B'AC+∠ACH
∠AB'H=∠ABH=2×∠ACH
従って、∠B'AC=∠ACH、すなわち△AB'Cは二等辺三角形となる。
よって、B'C=AB'=AB=12cmBB'=BC−B'C=1cm

BH=B'H=1/2×BB=1/2×1=0.5
HC=HB'+B'C=12.5cm。
よって、△ABH:△ACHBH:HC=0.5:12.5=1:25

 答:1:25

以上


3.解答例2萬田銀次郎さん、C-Dさん、他)

からBCに平行に引いた直線と∠の2等分線の交点を
からBCに下ろした垂線の足を、およびACBDの交点をとします。

参考図2

ADBCが平行より、∠ADB=∠DBC=∠ABD
よって△ABDは二等辺三角形、AD=AB=12cm
HE=AD=12cm

ADBCが平行より、∠DAC=∠ACB=∠ADB
よって△AFDは二等辺三角形、AFDF

また、∠FBC=∠FCBより、△FBCは二等辺三角形、FBFC

ABDと△DCAについて、
ADDA=12cm、BDCA、∠ADB=∠DACとなり、
二辺挟角が等しいので合同。

従って、ABDC=12cm、∠ABD=∠DCA
よって、△ABH≡△DCE

BH=EC=1/2×(BC−HE)=0.5cm
HC=HE+EC=12.5cm
よって、△ABH:△ACH=BH:HC=1:25


4.解答例3ちえんかん#2期さん、トトロ@Nさん、高橋道広さん、mhayashiさん、Hossさん、YokoyaMacさん、せいさん、他)

の二等分線とACの交点を、およびからBCに下ろした垂線の足をとします。

参考図3

BDは∠ABCの二等分線だから、角の二等分線に関する定理より、ADDC=AB:BC=12:13

AHDEが平行より、HEEC=AD:DC=1213

DBC=∠DCBより、△DBCは二等辺三角形、BEEC
よって、BHHC=(13−12):(13+12)=1:25

ABH:△ACH=BH:HC=1:25


(その他の解法)

・三角関数の倍角公式または半角公式等を用いる・・・・
  きょえぴさん、noetherさん、中村明海さん、有無相生さん、M.Hossieさん、
  
DrKさん、中村亮さん、てつさん