第296問の解答
問題 [平面図形]
上の図のような∠A=90゜の直角三角形ABCがあり、頂点Aから辺BCに降ろした垂線の足をHとします。
また、△ABHの周の長さが36cm、△AHCの周の長さが48cmとなっています。
いま、∠Bの二等分線と∠HACの二等分線の交点をDとします。
このとき、△ABDの面積を求めてください。
解答例1(Taroさん、CRYING DOLPHINさん、ミミズクはくず耳さん、あんみつさん、あまれっとさん、拓パパさん、おかひで博士さん、sodoさん、岩間美顕さん、ふじさきたつみさん、モルモット大臣さん、有無相生さん、数楽者さん、N.Nishiさん、他多数)
ADの延長線と辺BCの交点をEとし、AHとBDの交点をFとします。
△ABHは直角三角形だから、∠BAH=90度−∠ABH。
△CBAも直角三角形だから、∠BCA=90度−∠ABH。
よって、∠BAH=∠BCA。従って、△ABH、△CAH、△CBAは相似。
題意より、△ABHと△CAHの相似比は、
△ABHの周囲の長さ:△CAHの周の長さ=36:48=3:4。従って、BH:AH=3:4となり、△ABH、△CAH、△CBAは全て辺の長さが3:4:5の直角三角形となります。 ・・・ (1)
よって、∠CAH=∠ABHとなるので、△AFDと△BFHは2角が等しいので相似、
従って、∠ADF=∠BHF=90度。 ・・・ (2)よって、△ABDと△EBDはBDが共通で、これを挟む2角が等しいので合同、
従って、△ABEはAB=BE=15cmの二等辺三角形となります。△ABD=△ABE×1/2=1/2×BE×AH×1/2=1/2×15cm×12cm×1/2=45cm2
答:45cm2
以上
解答例2(ねこやんさん、前田先生@P進学院さん、小西孝一さん、角田(^^)v鉄也さん、 他)
(1)までは、解答例1と同じ。
△AHCにおいて、角の二等分線の定理より、HE:EC=AH:AC=3:5。
よって、HE=HC×3/8=16×3/8=6cm。
従って、BE=BH+HE=9+6=15cm。△ABEにおいて、角の二等分線の定理より、AD:DE=AB:BE=1:1。
よって、△ABD=△ABE×1/2=1/2×BE×AH×1/2=1/2×15cm×12cm×1/2=45cm2
解答例3(ハラギャーテイさん、M.Hossieさん、Parpunteさん、信三さん、QPerさん、やまはらさん、takuさん、他)
(2)まで、解答例1と同じ。
∠ABD=∠EBD=θとおくと、sin2θ=4/5、cos2θ=3/5。
△ABD=1/2×BD×AD=1/2×(AB×cosθ)×(AB×sinθ)
=1/2×AB2×cosθsinθ=1/4×152×2cosθsinθ=1/4×152×sin2θ
=1/4×152×4/5=45cm2