第313問の解答
問題 [平面図形]
左図のような、∠B=90度の直角三角形ABCがあります。 いま、∠Aの二等分線をひいたところ、辺BCと点Eで交わり、BE=5cm、CE=6cmとなりました。
では、頂点Bから辺ACに下ろした垂線の足をDとし、AEとの交点をFとするとき、FDの長さを求めて下さい。
解答例1
うっしーさん、まるケンさん、永井 暁さん、CRYING DOLPHINさん、拓パパさん、emikoさん、ちば けいすけさん、ねこやんさん 、
かめちゃんさん、他
辺AEを軸にして△ABEを折り返したものを△AB'Eとします。
すると、B'E=BE=5cm。
また、BDとEB'は平行だから、△CBDと△CEB'は相似、
よって、BD:EB'=BC:EC=11:6。△BDAも△CB'Eと相似なので、AB:AD=CE:EB'=6:5。
また、△ABEと△ADFは相似な直角三角形だから、
BE:DF=AB:AD=6:5。よって、FD=BE×5/6=5×5/6=25/6cm。
なお、△ACEをAEを軸として折り返しても、同様な解法になります。
(かめちゃんさん、他)
答: 25/6cm
以上
解答例2
長野 美光さん、Banyanyanさん、ICさん、高田修成さん、クララさん、トトロ@Nさん、小西孝一さん、M.Hossieさん、kokoさん、ふじさきたつみさん、他
三角形の角の二等分線に関する公式を用います。
△ABCで、AEは∠BACを二等分するから、AB:AC=BE:EC=5:6。
△BDCと△ABCは相似より、BD:BC=AB:AC=5:6、
よって、BD=BC×5/6=55/6cm。また、△ADBも△ABCと相似より、AD:AB=AB:AC=5:6。
さらに、△ABDで、AFは∠BADを二等分するから、BF:FD=AB:AD=6:5、
よって、FD=BD×5/11=55/6×5/11=25/6cm。
解答例3
あんみつさん、ガンマ先生さん、他
△ABDをADを軸として折り返したものを、△A'B'D'とします。
まず、∠BFE=∠AFD=90°−∠FAD=90°−∠BAE=∠BEF。
従って、△BEFは、BE=BF=5cmとなる二等辺三角形となります。
さて、△ABCと△A'D'B'、△ABEと△A'F'B'、△AECと△A'F'B'は、それぞれ相似だから、
D'F':F'B'=BE:EC=5:6。従って、FD=FB×5/6=5×5/6=25/6cm。
(その他の解法)
- ピタゴラスの定理等をもちいる ・・・ Taroさん、 他
- 三角関数を用いる ・・・ ハラギャーテイさん、他
- 座標をもちいて計算する ・・・ 有無相生さん、他