第３７５問の解答
問題［空間図形］
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左図は、正三角形と菱形を組み合わせた、ある立体の展開図を表しています。 この展開図を組み立てて立体を作ったとき、展開図中の点Ａと点Ｂの距離は６cmになります。 この立体の体積を求めてください。 |
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解答例１
角さん、CRYING DOLPHINさん、まるケンさん、はなうさん、長野 美光さん、トトロ＠Ｎさん、拓パパさん、中村明海さん、ミミズクはくず耳さん、M.Hossieさん、ｎａｍａさん、 他多数
菱形の角が小さい頂点３つが集まる部分に注目すると、下図のように立体は正四面体と正八面体が合体したものと分かります。
また、辺の長さが２倍の正四面体を考えると、求める立体は大きい正四面体から小さい正四面体を３個取り除いたものとなっています。
大きい正四面体の体積は、小さな正四面体の体積（Vとします）の２3＝８倍なので、
正八面体の体積＝V×４、求める立体の体積＝V×５、
従って、
求める立体の体積＝正八面体の体積×５/４
となります。（参考：第１３１問）さて、正八面体を平面ACBDで２つの四角錐に分割して体積を求めてみましょう。
ABは底面である正方形ACBDの対角線となっているので、
ABCDの面積＝３2×２＝１８cm2２つの四角錐の高さも３cmなので、
正八面体の体積＝１/３×１８×３×２＝３６cm3
となります。従って、求める立体の体積＝３６×５/４＝４５cm3
と求まります。答： ４５cm3
以上
（別解）大きな正四面体を内接する立方体から求めてみます。
A、Bは立方体の相対する面の中心となっているので、
立方体の１辺の長さ＝AB＝６cm
となります。大きな正四面体は、立方体から三角錐４個を除いた形となっているので、
大きな四面体の体積＝６3−１/３×（１/２×６2）×６×４＝７２cm3
となります。従って、
求める立体の体積＝７２cm3×５/８＝４５cm3
と求まります。
（参考）マウスでドラッグして下さい。
（その他の解法）
- 印刷し紙工作で解いた、ポリドロンで組み立てた ・・・ kasamaさん、Taroさん、クララさん、トトロ＠Ｎさん、みかんさん、UnderBirdさん、ハラギャーテイさん、すてっぷさん、ちずさん、ユイさん、大岡 敏幸さん、他 多数
- １辺の長さを求めて解く ・・・ みかんさん、小西孝一さん、ねこやんさん、大岡 敏幸さん、 他