第375問の解答


問題[空間図形]

問題図 左図は、正三角形菱形を組み合わせた、ある立体展開図を表しています。

この展開図を組み立てて立体を作ったとき、展開図中の点A点B距離6cmになります。

この立体の体積を求めてください。


解答例1

さん、CRYING DOLPHINさん、まるケンさん、はなうさん、長野 美光さん、トトロ@Nさん、拓パパさん、中村明海さん、ミミズクはくず耳さん、M.Hossieさん、namaさん、 他多数

菱形の角が小さい頂点3つが集まる部分に注目すると、下図のように立体正四面体正八面体が合体したものと分かります。

参考図1

また、辺の長さ2倍正四面体を考えると、求める立体大きい正四面体から小さい正四面体3個取り除いたものとなっています。

参考図2

大きい正四面体の体積は、小さな正四面体の体積(Vとします)の238倍なので、
 正八面体の体積V×4、求める立体の体積V×5、
従って、
 求める立体の体積正八面体の体積×5/4
となります。(参考:第131問

さて、正八面体平面ACBD2つ四角錐に分割して体積を求めてみましょう。
AB
は底面である正方形ACBD対角線となっているので、
 ABCDの面積=32×2=18cm2

2つの四角錐の高さも3cmなので、
 正八面体の体積=1/3×18×3×2=36cm3
となります。

従って、求める立体の体積36×5/4=45cm3
と求まります。

答: 45cm3

以上


(別解)

大きな正四面体を内接する立方体から求めてみます。

 参考図3

AB立方体の相対する面の中心となっているので、
 立方体1辺の長さ=AB6cm
となります。

大きな正四面体は、立方体から三角錐4個を除いた形となっているので、
 大きな四面体の体積=63−1/3×(1/2×62)×6×4=72cm3
となります。

従って、
 求める立体の体積
72cm3×5/8=45cm3
と求まります。


(参考)マウスでドラッグして下さい。


(その他の解法)