第３９０問の解答
問題［場合の数］
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左図のように、凸型の５角形の対角線を全て引くと、５角形の内部は１１個の小多角形に分割されます。 では、凸型１０角形の対角線を引けるだけ引くと、１０角形の内部は何個の小多角形に分割されるでしょうか。 |
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解答例１
あ〜く＠旧Ｎさん、ＡЯＯＴさん、CRYING DOLPHINさん、長野美光さん、小学名探偵さん、萬田銀次郎＠昼休みさん、他
一般的な凸ｎ角形の場合で考えることにとします。
まず、凸ｎ角形の対角線、および交点の個数を数えてみましょう。
各対角線は、ｎ個の頂点から２個を選んで、線分を引くことによって決まるので、
nＣ2本となりますが、このうち凸ｎ角形の辺と一致するｎ本は除く必要があるので、
対角線数＝nＣ2−ｎ＝ｎ（ｎ−１）/２−ｎ＝ｎ（ｎ−３）/２本 ・・・ （１）
と求まります。また、各交点はｎ個の頂点から４個の頂点を選らんでできる凸４角形の対角線の交点として決まるので、
交点数＝nＣ4＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）/２4個 ・・・ （１）
と求まります。さて、凸ｎ角形で対角線を引く前には、分割数は１であり、
対角線を１本引くたびに、交点の数＋１だけ分割数が増えることから、
凸ｎ角形の分割数
＝対角線数＋交点数＋１
＝ｎ（ｎ−３）/２＋ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）/２4＋１
＝（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ2−３ｎ＋１２）/２４
と求まります。とくに本問では、ｎ＝１０として、
凸ｎ角形の分割数
＝（１０−１）（１０−２）（１０2−３×１０＋１２）/２４
＝２４６個
と求まります。答： ２４６個
以上
（参考）算チャレVer2 第７４問
こちらは円周上にとったn点を結んだときの分割数なので、本問よりｎ個多い結果となります。
解答例２
ミキティさん、なかさん、トトロ＠Ｎさん、ゴンともさん、小西孝一さん、ハラギャーテイさん、他
凸ｎ角形の分割数をＦnとします。
ｎ＝１から６までの凸ｎ角形を描いて数えると、
分割数＝０、０、１、４、１１、２５
となります。これらから、階差数列を３次まで求めると、
１、２、３
と１次式になると予想されます。この予想をもとに、ｎ＝７から１０まで計算すると、
分割数＝５０、９１、１５４、２４６
となります。
（参考）数列大辞典にも掲載
（その他の解法）
- 漸化式をたてて解く ・・・ 拓パパさん、とまぴょんさん、 他
凸（n−１）角形に、新たに一点を加え凸n角形をつくる。
その加えた点から新たな対角線が（n−３）本引けるので、
そのときに増加する分割数は
Σ(k=1.. n-3) {k(n-2-k)} + (n-3) +1
となる。
これから漸化式をたて、一般式(n-1)(n-2)(n2-3n+12)/24を得る。
- 実際に図を描き数え上げる ・・・ いちたすにはさん、きょろ文さん、スモークマンさん、M.Hossieさん、kasamaさん、他