第４１４問の解答

問題［平面図形］

左図で、△ＡＢＣはＡＢ＝６cm、ＢＣ＝７cm、ＣＡ＝３cmとなっています。

いま、∠Ｃの二等分線と辺ＡＢの交点をＰとし、直線ＡＢ上に、∠ＰＣＱ＝９０°となるような点Ｑをとりました。

このとき、ＡＱの長さを求めてください。

　

解答例１

CRYING DOLPHINさん、AMさん、姉小路さん、DIDDYKONGさん、他

辺QCを軸にして、△QACを折り返したものを△QA’Cとします。

　∠QCB＋∠QCA’
＝（∠PCB＋∠ACP＋∠QAC）＋∠QCA’
＝∠ACP×２＋∠QCA×２　（∠PCB＝∠ACP、∠QAC＝∠QCA'より）
＝（∠ACP＋∠QCA）×２
＝９０°×２＝１８０°

よって、B、C、A’は一直線上に並びます。

すると、
　△QBCの面積：△QCA’の面積＝BC：CA’＝７：３
よって、
　△QBC＝１０とすると、△QBC＝７、△QCA’＝３
　△ABC＝△QBC－△QAC＝△QBC－△QCA’＝７－３＝４

従って、
　AB：QA＝△ABC：△QCA’＝４：３

よって、
　AQ＝AB×３/４＝６×３/４＝９/２＝４．５cm
と求まります。

答：　４．５cm

以上

解答例２

マサルさん、Plutonianさん、数楽者さん、他

点Aを通り辺QCに平行に引いた直線とBCの交点をDとし、BCの延長線上に適当な点Eをとります。

∠QCE
＝１８０°－（∠PCB＋∠ACP＋∠ACQ）
＝１８０°－（∠ＰＣＢ＋９０°）
＝９０°－∠ＰＣＢ＝∠ＡＣＱ

ＡＤとQCは平行だから、
　∠ＣＡＤ＝∠ＡＣＱ（錯角）、∠ＣＤＡ＝∠ＥＣＱ（同位角）より、∠ＣＡＤ＝∠ＣＤＡ

よって、△ＣＡＤは二等辺三角形となります。
従って、ＣＤ＝ＣＡ＝３cm、BD＝７－３＝４cm。

ADとQCは平行だから、
　AB：AQ＝BD：DC＝４：３　・・・　（１）

よって、
　AQ＝AB×３/４＝６×３/４＝９/２＝４．５cm
と求まります。

なお、この解法は、角の二等分線の定理（外角）の証明と同様です。
この定理を用いると、　QB：QA＝CB：CA＝７：３から（１）がすぐに分かります。

解答例３

DrKさん他

点Bを通り辺CQと平行に引いた直線と、CAの延長線の交点をDとします。

解答例２と同様にして、∠QCE＝∠ACQとなります。

DBとQCは平行だから、
　∠CDB＝∠QCD（錯角）、∠CBD＝∠ECQ（同位角）より、∠CDB＝∠CBD

よって、△CDBは二等辺三角形となり、CD＝BC＝７cm、AD＝７－３＝４cm。

さて、DBとQCは平行だから、△ADBと△ACQは相似。
よって、
　AB：AD＝AQ：AC、
　AQ＝AB×AC/AD＝６×３/４＝９/２＝４．５cm
と求まります。

解答例４

小西孝一さん、きょろ文さん、他

点Bを通り辺ACと平行に引いた直線とQCの延長線の交点をDとします。

∠BCD＝１８０°－（∠PCB＋∠ACP＋∠ACQ）＝９０°－∠PCB＝∠ACQ、
および∠BDC＝∠ACQ（同位角）より、∠BCD＝∠BDC。

よって、△BDCは二等辺三角形となり、BD＝BC＝７cm。

ACとBDは平行だから、
　QA：QB＝AC：BD＝３：７

よって、AQ＝AB×AC/AD＝６×３/４＝９/２＝４．５cm
と求まります。

解答例５

takuさん他

点Bを通り辺PCと平行に引いた直線とACの延長線の交点をDとし、BCの延長線とQDの交点をEとします。

PCとBDは平行だから、
∠CBD＝∠PCB（錯角）、∠CDB＝∠PCB（同位角）より、∠CBD＝∠CDB、
よって、△CBDは二等辺三角形となり、CD＝CB＝７cm。

∠QCE＝∠ACQ（解答例２と同様）、∠ECD＝∠ACB（対頂角）より、
∠ACD＝∠QCE＋∠ECD＝∠ACQ＋∠ACB＝∠QCB。

すると、△QCBと△QCDについて、二辺挟角が等しいので合同、
よって、∠BQC＝∠DQC、∠QBC＝∠QDCとなります。

今度は、△QCAと△QCEについて、１辺と両端の角が等しいので合同、
よって、CE＝CA＝３cm。

従って、△CAEはCA＝CEの二等辺三角形となり、∠CAE＝∠CEA。

よって、△CAEと△CBDは、∠ACE＝∠BCDより、頂角が等しい二等辺三角形なので相似。
従って、AEとBDは平行、AE：BD＝CA：BD＝３：７となります。

よって、
　AQ：QB＝AE：BD＝３：７
　AQ＝AB×３/４＝６×３/４＝９/２＝４．５cm
と求まります。

解答例６

uchinyanさん他

点Aを通り辺BCと平行に引いた直線と辺QCの交点をDとします。

∠QDA＝∠QCB（同位角）より、
　∠ADC＝１８０°－∠QDA＝１８０°－∠QCB＝１８０°－（∠PCB＋∠ACP＋∠ACD）
＝１８０°－∠PCB=∠ACD

よって、△ACDは二等辺三角形となり、AD＝AC＝３cm。

ADとBCは平行だから、
　QA：QB＝AD：BC＝３：７

よって、
　AQ＝AB×３/４＝６×３/４＝９/２＝４．５cm
と求まります。

　

（その他の解法）

AQ上にPA＝QRとなる点Rをとる。点CからAQ上に垂線CHを引く　・・・　トトロ＠Ｎさん、他
△RBCと△ACHはともに直角を挟む2辺の比が3：7の直角三角形になることからAP：PB＝3：7となることを利用

角の二等分線の定理」と「平行線」を使う　・・・　始受験勉強君さん、他
最終的には、3×1.8/1.2=9/2cm

垂線引いて、二等辺三角形を作る　・・・　ari-june さん、他
引いた垂線が、三角形の一辺と平行なので6かける3/4

三角関数を使って解く　・・・　tomhさん、ゴンともさん、ハラギャーテイさん、uchinyanさん、他

CAD等で作図して解いた　・・・　kasamaさん、M.Hossieさん、他


	点Aを通り辺QCに平行に引いた直線とBCの交点をDとし、BCの延長線上に適当な点Eをとります。 ∠QCE ＝１８０°－（∠PCB＋∠ACP＋∠ACQ）＝１８０°－（∠ＰＣＢ＋９０°）＝９０°－∠ＰＣＢ＝∠ＡＣＱＡＤとQCは平行だから、　∠ＣＡＤ＝∠ＡＣＱ（錯角）、∠ＣＤＡ＝∠ＥＣＱ（同位角）より、∠ＣＡＤ＝∠ＣＤＡよって、△ＣＡＤは二等辺三角形となります。従って、ＣＤ＝ＣＡ＝３cm、BD＝７－３＝４cm。 ADとQCは平行だから、　AB：AQ＝BD：DC＝４：３　・・・　（１）よって、　AQ＝AB×３/４＝６×３/４＝９/２＝４．５cm と求まります。なお、この解法は、角の二等分線の定理（外角）の証明と同様です。この定理を用いると、　QB：QA＝CB：CA＝７：３から（１）がすぐに分かります。


	点Bを通り辺CQと平行に引いた直線と、CAの延長線の交点をDとします。解答例２と同様にして、∠QCE＝∠ACQとなります。 DBとQCは平行だから、　∠CDB＝∠QCD（錯角）、∠CBD＝∠ECQ（同位角）より、∠CDB＝∠CBD よって、△CDBは二等辺三角形となり、CD＝BC＝７cm、AD＝７－３＝４cm。さて、DBとQCは平行だから、△ADBと△ACQは相似。よって、　AB：AD＝AQ：AC、　AQ＝AB×AC/AD＝６×３/４＝９/２＝４．５cm と求まります。


	点Bを通り辺ACと平行に引いた直線とQCの延長線の交点をDとします。 ∠BCD＝１８０°－（∠PCB＋∠ACP＋∠ACQ）＝９０°－∠PCB＝∠ACQ、および∠BDC＝∠ACQ（同位角）より、∠BCD＝∠BDC。よって、△BDCは二等辺三角形となり、BD＝BC＝７cm。 ACとBDは平行だから、　QA：QB＝AC：BD＝３：７よって、AQ＝AB×AC/AD＝６×３/４＝９/２＝４．５cm と求まります。


	点Bを通り辺PCと平行に引いた直線とACの延長線の交点をDとし、BCの延長線とQDの交点をEとします。 PCとBDは平行だから、 ∠CBD＝∠PCB（錯角）、∠CDB＝∠PCB（同位角）より、∠CBD＝∠CDB、よって、△CBDは二等辺三角形となり、CD＝CB＝７cm。 ∠QCE＝∠ACQ（解答例２と同様）、∠ECD＝∠ACB（対頂角）より、 ∠ACD＝∠QCE＋∠ECD＝∠ACQ＋∠ACB＝∠QCB。すると、△QCBと△QCDについて、二辺挟角が等しいので合同、よって、∠BQC＝∠DQC、∠QBC＝∠QDCとなります。今度は、△QCAと△QCEについて、１辺と両端の角が等しいので合同、よって、CE＝CA＝３cm。従って、△CAEはCA＝CEの二等辺三角形となり、∠CAE＝∠CEA。よって、△CAEと△CBDは、∠ACE＝∠BCDより、頂角が等しい二等辺三角形なので相似。従って、AEとBDは平行、AE：BD＝CA：BD＝３：７となります。よって、　AQ：QB＝AE：BD＝３：７　AQ＝AB×３/４＝６×３/４＝９/２＝４．５cm と求まります。


	点Aを通り辺BCと平行に引いた直線と辺QCの交点をDとします。 ∠QDA＝∠QCB（同位角）より、　∠ADC＝１８０°－∠QDA＝１８０°－∠QCB＝１８０°－（∠PCB＋∠ACP＋∠ACD）＝１８０°－∠PCB=∠ACD よって、△ACDは二等辺三角形となり、AD＝AC＝３cm。 ADとBCは平行だから、　QA：QB＝AD：BC＝３：７よって、　AQ＝AB×３/４＝６×３/４＝９/２＝４．５cm と求まります。