第４２３問の解答

問題［空間図形］

問題図

左図のような、１枚の正六角形と、３枚の菱形、６枚の直角三角形でできた立体の展開図があります。

正六角形と菱形の面積は等しく、組み立てた立体において、図中のＡとＢを結んだ線分の長さは６cmとなるということです。

このとき、この立体の体積を求めてください。

解答例１

おかひで博士さん、はなうさん、tomhさん、アヒーのおじさんさん、uchinyanさん、ほげさん、ゴンともさん、n厨さん、M.Hossieさん、DrKさん、トトロ＠Ｎさん、ドイルさん、水田Ｘさん、N.Nishiさん、姉小路さん、他

展開図をもとに立体を組み立てると下図のようになります。

参考図１

上側の頂点をP、底面の正六角形の頂点を時計回りにA、A1、A2、A3、A4、A5、および中間に来る菱形の頂点をB1、B、B2とします。

A1、A3、A5で、それぞれ２つの直角三角形が隣り合っているので、これらは底面と垂直になっています。
また、対称性などからB1、B、B2は、Pと底面のちょうど中間の高さにあり、この３点を結ぶと正三角形になります。

B1BB2で立体を切断し、上側の正四面体を３分割します。これら下側の斜めの面に合わせると、ちょうど正六角柱ができることが分かります。

参考図１−２

この正六角柱の高さは（hとします）、もとの立体の高さの半分になります。

さて、底面の正六角形で１辺の長さをa、菱形の１辺の長さをbとします。
正六角形は、１辺の長さがaの正三角形が６個、菱形は１辺の長さがbの正三角形が２個からなっていますので、題意より、
　１/４×√３×a2×６＝１/４×√３×b2×２

従って、
　b＝√３×a　・・・　（１）
が成り立ちます。

すると、図１、図２の直角三角形の３辺の長さより、
　a2＋h2＝（√３×a）2　・・・　（２）
　（２×a）2＋h2＝６2　・・・　（３）
が成り立ちます。

（１）、（２）、（３）より、
　　a＝√３、b＝３√２、h＝２√３
を得ます。

従って、
　求める立体の体積
＝正六角柱の体積
＝（１/４×√３×a2）×６×h
＝５４cm3
と求まります。

答： 　５４cm3

以上

　

解答例２

あ〜く＠ぴかぴかの（略さん、貞松　篤さん、mhayashiさん、すてっぷさん、takaisaさん、小学名探偵さん、 他

PB1、PB、PB2を延長して底面と交わる点をC1、C、C2とします。

参考図２

すると、三角錐PC1CC2は、１辺の長さが２ｂの大正四面体となります。
大正四面体の体積＝√２／１２×（２ｂ）3＝７２cm3となります。（第１３１問解答例３）

また、求める立体は、この大正四面体から１辺の長さがｂの小正四面体の２/３を３個取り除いたものとなっているので、
　求める立体の体積
＝７２×（１−１/８×２/３×３）
＝７２×３/４
＝５４cm3
と求まります。

なお、下図のように、大正四面体を立方体に埋め込むと、AB＝６cmがちょうど立方体の１辺の長さに等しいことが分かります。（第１３１問解答例１）

参考図２−２

すると、大正四面体は、この立方体から１辺の長さが６cmの直角二等辺三角形で高さ６cmの三角錐を４個除いたものとなっているので、
　大正四面体の体積
＝６3−（１/３×１/２×６2×６）×４
＝７２cm3
となります。

以下、同様。

（その他の解法）