第133問の解答


1.問題 [平面図形]

問題図

左図の三角形ABCにおいて、
 AS:SB=1:4
 BP:PQ:QC=3:5:2
 CR:RA=2:3
になっています。
では、SO:OQはいくらでしょうか?


2.解答例1(Taroさん、)

SO:OQ=△PSR:△PQRより求めます。
S=△ABCとします。

参考図1


PRC×PCBC×CRAC×7/10×2/5=×7/25。
PQR=△PRC×PQPC×7/25×5/7=S×5/25

四角形ABPR=△ABC−△PQR×7/25=×18/25。
SBP×BSAB×BPBC×4/5×3/10=×6/25。
SAR×SAAB×ARAC×1/5×3/5=×3/25。
よって、△PSR=四角形ABPR−△SBP−△SAR
  =×18/25−×6/25−×3/25=S×9/25

従って、SOOQ=△PSR:△PQR×9/25:×5/25=9:5

答:9:5

以上


3.解答例2(ありっちさん、長野美光さん、パリンさん、きょえぴさん、わかさひ君すーぱーさん、AUさん、DrKさん、うっしーさん、kakeruさん、他多数)

ACの長さをとする。

参考図2

BS:SA=BQ:QC=4:1より、△SBQと△ABCは相似、SQACは平行。 
SQAC×4/5=
OQRC×5/7=2×5/7=10/7
従って、SOSQOQ=4−10/7=18/7
よって、SO:OQ=18/7:10/7=9:5


4.解答例3(たなかさん、Gouさん、他)

BRSQの交点をとする。

図1
参考図3
図2
参考図3-1

図1で、解答例2と同様にして、SQACは平行、
よってST:TQ=AR:RC=3:2

BTQにおいてメネラウスの定理より、
 (QP/PB)*(BR/RT)*(TO/OQ)=1
よって、TO/OQ=(PB/QP)*(RT/BR)=3/5×1/5=3/25

TQ28とすると、TO=3、OQ=25
ST=TQ×3/2=28×3/2=42
よって、
 SO=ST+TO=42+3=45
 OQ=TQ−TO=28−3=25

SO:OQ=45:25=9:5

(別解)

図2で、ABの延長とRPの延長の交点をSB:BT=4:dとする。

ABCRTに関してメネラウスの定理により、
 (AR/RC)*(CP/PB)*(BT/TA)=1
 3/2*7/3*d/(d+5)=1
 d/(d+5)=7/2
よって、d=2。

また、△SBQRTに関してメネラウスの定理により、
 (SO/OQ)*(QP/PB)*(BT/TS)=1
 (SO/OQ)*5/3*2/6=1
よって、SO/OQ=3/5*6/2=9/5、SO:OQ=9:5


5.解答例4(香川仁志さん、他)

からBCと平行に直線を引き、ABとの交点をD、PRの延長との交点をとする。BCの長さを10として考える。

参考図5

ASDと△ABCは相似だから、
 SD=BC×AS/AB=10×1/5=
 AD=AC×1/5
よって、
 DR=AR−AD=AC×3/5−AC×1/5=AC×2/5=RC

DTRと△CRPは相似だから、
 DT=PC×DR/CR=7×2/2=

STOと△QPOは相似だから、
 SO:OQ=ST:PQ=9:5


6.解答例5(有無相生さん、しんご師匠さん、他)

ベクトルで考えます。ベクトルABABのように書くことにします。
αABβACとします。

参考図6

AS=1/5αAQ=1/5α+4/5β と表せるので、t=SO/SQとおくと、
AO(1-t)・AS+t・AQ
   =(1-t)・1/5α+t・(1/5α+4/5β
   =1/5α+t・4/5β ・・・ (1)

AR=3/5βAP=7/10α+3/10β と表せるので、s=PO/PRとおくと、
AO(1-s)・AP+s・AR
   =(1-s)・(7/10α+3/10β)+s・3/5β
   =(1-s)・7/10α+(1+s)・3/10β ・・・ (2)

(1)、(2)より、
  1/5=(1-s)・7/10、t・4/5=(1+s)・3/10
これを解いて、s=5/7、t=9/14を得る。

よって、SO:SQ=9:5となります。