第１３３問の解答
１．問題 ［平面図形］
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２．解答例１(Taroさん、他)
ＳＯ：ＯＱ＝△ＰＳＲ：△ＰＱＲより求めます。
Ｓ＝△ＡＢＣとします。
△ＰＲＣ＝Ｓ×ＰＣ／ＢＣ×ＣＲ／ＡＣ＝Ｓ×７／１０×２／５＝Ｓ×７／２５。
△ＰＱＲ＝△ＰＲＣ×ＰＱ／ＰＣ＝Ｓ×７／２５×５／７＝Ｓ×５／２５。四角形ＡＢＰＲ＝△ＡＢＣ−△ＰＱＲ＝Ｓ−Ｓ×７／２５＝Ｓ×１８／２５。
△ＳＢＰ＝Ｓ×ＢＳ／ＡＢ×ＢＰ／ＢＣ＝Ｓ×４／５×３／１０＝Ｓ×６／２５。
△ＳＡＲ＝Ｓ×ＳＡ／ＡＢ×ＡＲ／ＡＣ＝Ｓ×１／５×３／５＝Ｓ×３／２５。
よって、△ＰＳＲ＝四角形ＡＢＰＲ−△ＳＢＰ−△ＳＡＲ
＝Ｓ×１８／２５−Ｓ×６／２５−Ｓ×３／２５＝Ｓ×９／２５。従って、ＳＯ：ＯＱ＝△ＰＳＲ：△ＰＱＲ＝Ｓ×９／２５：Ｓ×５／２５＝９：５。
答：９：５
以上
３．解答例２(ありっちさん、長野美光さん、パリンさん、きょえぴさん、わかさひ君すーぱーさん、AUさん、DrKさん、うっしーさん、kakeruさん、他多数)
ＡＣの長さを５とする。
ＢＳ：ＳＡ＝ＢＱ：ＱＣ＝４：１より、△ＳＢＱと△ＡＢＣは相似、ＳＱとＡＣは平行。
ＳＱ＝ＡＣ×４／５＝４。
ＯＱ＝ＲＣ×５／７＝２×５／７＝１０／７。
従って、ＳＯ＝ＳＱ−ＯＱ＝４−１０／７＝１８／７。
よって、ＳＯ：ＯＱ＝１８／７：１０／７＝９：５。
４．解答例３(たなかさん、Gouさん、他)
ＢＲとＳＱの交点をＴとする。
図１ |
図２ |
図１で、解答例２と同様にして、ＳＱとＡＣは平行、
よってＳＴ：ＴＱ＝ＡＲ：ＲＣ＝３：２。△ＢTQにおいてメネラウスの定理より、
(QP/PB)*(BR/RT)*(TO/OQ)=1
よって、TO/OQ=(PB/QP)*(RT/BR)=3/5×1/5＝3/25。ＴＱを２８とすると、ＴＯ＝３、ＯＱ＝２５。
ＳＴ＝ＴＱ×３／２＝２８×３／２＝４２。
よって、
ＳＯ＝ＳＴ＋ＴＯ＝４２＋３＝４５、
ＯＱ＝ＴＱ−ＴＯ＝２８−３＝２５。ＳＯ：ＯＱ＝４５：２５＝９：５。
（別解）
図２で、ＡＢの延長とＲＰの延長の交点をＴ、ＳＢ：ＢＴ＝４：ｄとする。
△ＡＢＣとＲＴに関してメネラウスの定理により、
(AR/RC)*(CP/PB)*(BT/TA)=1
3/2*7/3*d/(d+5)=1
d/(d+5)=7/2
よって、d=2。また、△SBQとＲＴに関してメネラウスの定理により、
(SO/OQ)*(QP/PB)*(BT/TS)=1
(SO/OQ)*5/3*2/6=1
よって、SO/OQ=3/5*6/2=9/5、SO：OQ=9：5。
５．解答例４(香川仁志さん、他)
ＳからＢＣと平行に直線を引き、ＡＢとの交点をＤ、ＰＲの延長との交点をＴとする。ＢＣの長さを１０として考える。
△ＡＳＤと△ＡＢＣは相似だから、
ＳＤ＝ＢＣ×ＡＳ／ＡＢ＝１０×１／５＝２。
ＡＤ＝ＡＣ×１／５、
よって、
ＤＲ＝ＡＲ−ＡＤ＝ＡＣ×３／５−ＡＣ×１／５＝ＡＣ×２／５＝ＲＣ。△ＤＴＲと△ＣＲＰは相似だから、
ＤＴ＝ＰＣ×ＤＲ／ＣＲ＝７×２／２＝７。△ＳＴＯと△ＱＰＯは相似だから、
ＳＯ：ＯＱ＝ＳＴ：ＰＱ＝９：５。
６．解答例５(有無相生さん、しんご師匠さん、他)
ベクトルで考えます。ベクトルABを→ABのように書くことにします。
→α＝→AB、→β＝→ACとします。
→AS＝1/5→α、→AQ＝1/5→α＋4/5→β と表せるので、t=SO/SQとおくと、
→AO＝(1-t)・→AS＋t・→AQ
＝(1-t)・1/5→α＋t・（1/5→α＋4/5→β）
＝1/5→α＋ｔ・4/5→β ・・・ （１）→AR＝3/5→β、→AP＝7/10→α＋3/10→β と表せるので、s=PO/PRとおくと、
→AO＝(1-s)・→AP＋s・→AR
＝(1-s)・(7/10→α＋3/10→β)＋s・3/5→β
＝(1-s)・7/10→α＋(1+s)・3/10→β ・・・ （２）（１）、（２）より、
1/5＝(1-s)・7/10、ｔ・4/5＝(1+s)・3/10
これを解いて、ｓ＝5/7、ｔ＝9/14を得る。よって、SO：SQ＝９：５となります。
