第１４７問の解答
１．問題 ［整数の性質、魔方陣］
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２．解答例１(清川育男さん、杉本未来さん、AUさん、すうぱあさん、きょえぴさん、トトロ＠Ｎさん、ありっちさん、中村明海さん、有無相生さん、Nagahiroさん、N.Nishiさん、mhayashiさん、あまれっとさん、他多数)
各マスに入る数字をa、b、c、・・、iとし、全ての積をＳ、１列の積をsとします。
abcdefghi＝(abc)(def)(ghi)＝s3＝S、
s=S1/3 ・・・ （１）、
よって、sを最小にするためには、Sを最小にすればいいことがわかる。ここで、a、b、c、・・、iに入っている素因数をp、q、r、・・・、ｔとし、
a＝pa1qa2ra3・・ｔan、b＝pb1qb2rb3・・ｔbn、・・、i＝pi1qi2ri3・・ｔin、
および、s＝ps1qs2rs3・・ｔsnとします。abc＝pa1+b1+c1qa2+b2+c2ra3+b3+b3・・ｔan+bn+cn＝ps1qs2rs3・・ｔsn、
よって、a1+b1+c1＝s1、a2+b2+c2＝s2、a3+b3+b3＝s3、・・、an+bn+cn＝sn。
同様に、d1+e1+f1＝s1、d2+e2+f2＝s2、d3+e3+f3＝s3、・・、dn+en+fn＝sn、
および、d1+e1+f1＝s1、d2+e2+f2＝s2、d3+e3+f3＝s3、・・、dn+en+fn＝sn。全く同様にして、縦、斜め方向にも同じことがいえるので、
・・・（２）
のような関係が成り立つ。
ここで、ｒ＝・・・＝ｔ＝１、またはq＝・・・＝ｔ＝１としても、題意が成り立つので、ｓを最小にするには、素因数が１個または２個の場合に限る。
しかも素因数の値にかかわらず、（２）が成り立てば題意が満たされるので、
・素因数が１個のとき：p=2
・素因数が１個のとき：p=2、q=3
のいずれかの場合となることが分かる。（１）素因数が１個のとき：
（２）より、a1、b1、c1、・・、i1は縦、横、斜めの和が全てs1に等しく、また全て値は異なる（たとえば、a1=b1とすれば、a=2a1=b=2b1となって題意に反する）０以上の整数であることから、いわゆる魔方陣となっていることが分かる。
sを最小にするには、a1、b1、c1、・・、i1は0から8の整数であればＯＫ。
（１）、（２）より、s1=S1/3 ・・・ （３）（ただし、S1=a1+b1+・・+i1）となるので、
s1=(0+1+・・+8)/3=(8・9/2)/=3=12
よって、s=212=4096となります。具体的な例としては、次のようなものがあります。（参考：算チャレ第２０６問）
（２）素因数が２個のとき：
素因数が１個のときと異なるのは、a1、b1、c1、・・、i1、およびa2、b2、c2、・・、i2は全て異なる必要はない。
ここで、
(a1+e1+i1)+(c1+e1+g1)+(b1+e1+h1)+(d1+e1+f1)=4s1
(a1+b1+c1+d1+e1+f1+g1+h1+i1)+3e1=4s1
3s1+3e1=4s1
よって、e1=s1/3がなりたつ。
全く同様に、e2=s2/3。 ・・・ （４）すなわち、s1、s2は３の倍数となり、
いずれかが０の場合は、
a1=b1=c1=・・=i1=0またはa2=b2=c2=・・=i2=0
となり、素因数が２個であることに反する。従って、s1、s2は３以上。
もし、s1=s2=3となるものがみつかれば、それが最小となる。・・・（５）
・・・（６）
上表のように、各列に０、１、２を配置し、縦、横、斜めに必ずこの３つの整数が来るように並べ（ラテン方陣という）、素因数２のラテン方陣と素因数３のラテン方陣の各マスの組み合わせ（オイラー方陣という）が異なるようにすれば、掛け合わせたものは題意を満たす魔方陣になる。
このとき、s＝(２×３)3＝６3＝２１６となります。
ちょうど、これは３６の約数が２n×３m（n=0,1,2、m=0,1,2）のちょうど３×３＝９通りの整数あるることに対応しています。
素因数１個の場合の４０９６より、素因数２個の場合の２１６のほうが小さいので、２１６が最小になります。
答：２１６
以上
３．解答例２(ふきゅさん、数楽者さん、他)
解答例１の（２）素因数が２個のときの３×３のオイラー方陣を３進数表現を使って次のように求めることが出来ます。
まず、１から９を使った３×３の魔方陣で各マスの数字から１を引いて、０から８を使った魔方陣とします。
次に、これらの数字を３進数表現に変換します。
さらに、各マスの数字を第２位の数字と第１位の数字に分解します。
すると、ちょうど解答例１の（６）を反時計回りに９０度回転したものが得られます。
（参考）解の魔方陣が対象なものを除いて唯一であること
解答例１の（２）素因数が２個のときのa1、b1、c1、・・、i1を求めてみましょう。
（４）、（５）から、e1=1、s1=3が得られています。
a1+1+i1=3より、0≦a1、i1≦2。同様に、残りの数字も0、1、2のいずれかになります。
いま、d1=1と仮定すると、d1+1+f1=3よりf1=1。
さらに、a1=1と仮定すると、a1+1+g1=a1+1+r1=3より、g1=r1=1となり、残りも全て1になるので不適。
よって、a1=0または2。a1=0とします。
a1+1+g1=a1+1+r1=3より、g1=r1=2となり不適。
同様に、a1=2とすると、g1=r1=0、h1=3となり不適。従って、d1=0または2となります。
d1=0とすると、f1=2となります。
a1=0とすると、g1=3となるので不適。
よって、a1=1または2。a1=1とすると、g1=2、i1=1。
残りは、h1=0、c1=0、b1=2となります。（ケースa）
a1=2とすると、g1=1、i1=0。
残りは、h1=2、c1=1、b1=0となります。（ケースb）d1=2と仮定するとしても、同様にケースc、ケースdが得られます。
以上４ケースは、対象性を除くと同じパターンのラテン方陣になっています。
全く同様に、a2、b2、c2、・・、i2も上記４ケースのラテン方陣になります。
さて、a1、b1、c1、・・、i1がケースａでa2、b2、c2、・・、i2がケースbの場合を(a,b)のように表すとすれば、
各マスの数字の組み合わせに同じものがないようにする必要があるので、
(a,b)、(a,c)、(b,a)、(b,d)、(c,a)、(c,d)、(d,b)、(d,a)の６通りになります。いずれの場合も、結果的には３６の９つある約数を各マスに並べたものになるので、対象性を除くと同一とみなすことができます。
