第１２３問の解答

１．問題　［整数の性質・覆面算］

下記の数字は、９９９でも９９でも割り切れる９桁の整数だったのですが、一部が読みとれなくなっています。この整数を復元してください。

３１４■■９２■■

２．解答例１(Taroさん、わかさひ君、ヒデー王子さん、まるケンさん、数楽者さん、他多数)

(補題)　a,p,nを正整数とすると、
　　anpn+an-1pn-1+・・・+a1p+a0≡an+an-1+・・・+a1+a0 (mod p-1)　・・（１）
　　記号≡の意味：両辺を、それぞれp-1で割った余りは等しい。 (参考　算チャレ１２２問)

（証明）
　p-1≡0 (mod p-1)より、p≡1 (mod p-1、以下略)
　ap≡a、a2p≡ap≡a、a3p≡a2p≡ap≡a、・・・
　以下同様にして、apn≡a

よって、anpn≡an、an-1pn-1≡an-1、・・・、a1p≡a1、a0≡a0
辺々加えて、（１）を得る。

（補題の適用）
　p=10のとき、anan-1・・・a1a0≡an+an-1+・・・+a1+a0(mod 9)
　p=100のとき、anan-1・・・a1a0≡anan-1+・・・+a1a0(mod 99)　（ここではn:偶数と仮定）
　p=1000のとき、anan-1an-2・・・a2a1a0≡anan-1an-2+・・・+a2a1a0(mod 999)　
　（ここではn:３の倍数と仮定）

すなわち、９の倍数なら各桁の和、９９の倍数なら２桁ごとの和、９９９の倍数なら３桁ごとの和
を調べれば良いことになります。

問題の整数をｎ＝３１４ａｂ９２ｃｄとおきます。

補題を適用すると、
　ｎ≡３１４＋ａｂ９＋２ｃｄ≡0（mod 999）　　　・・・　（２）
　ｎ≡３＋１４＋ａｂ＋９２＋ｃｄ≡0（mod 99）　・・・　（３）
を得ます。

（２）で、３１４＋ａｂ９＋２ｃｄ＜３１４＋９９９＋２９９＜１９９８
よって、３１４＋ａｂ９＋２ｃｄ＝９９９、ａｂ０＋ｃｄ＝４７６
従って、ｄ＝６、ｂ＋ｃ＝７or１７、ａ＝４or３。

（３）で、９９＜３＋１４＋３０＋９２＋０６＜３＋１４＋ａｂ＋９２＋ｃｄ
　および、３＋１４＋ａｂ＋９２＋ｃｄ＜３＋１４＋４９＋９２＋９６＜２９７
よって、３＋１４＋ａｂ＋９２＋ｃｄ＝１９８、　ａｂ＋ｃ０＝８３
従って、ｂ＝３、ｃ＝４、ａ＝４となります。

答：３１４４３９２４６

以上

（参考）９９の替わりに１１の倍数かどうかを判定するには、
　　3+4+b+2+dと1+a+9+cの差が11の倍数を調べればよい。（Taroさん）
　　これは、10≡-1（mod 11）より、102≡1,103≡-1等より
　　314ab92cd=3・108+1・107+4・106+a・105+b・104+9・103+2・102+ｃ・10+d
　　≡3-1+4-a+b-9+2-c+d≡0(mod 11)　より得られます。

３．解答例２(中村明海さん他)

求める数を ｎ = 314009200 + 10000a +b とする。 
（ただし、a, b は 0 から 99 の整数） 

(1) 99 で割り切れる

314009200≡10 (mod 99)、10000≡1 (mod 99)、
よって、ｎ≡10 + a + b≡0 (mod 99) 
従って、a + b = 89 または a + b = 188・・・（１）

(2) 999 で割り切れる 

314009200≡523 (mod 999)、10000≡10 (mod 999)、
よって、ｎ≡523 +10 a + b≡0 (mod 999) 
従って、 10a + b = 476・・・（２）

(3) （１）と（２）より 

 a + b = 89, 10a + b = 476 なら、a = 43, b=46　（適） 
 a + b = 188, 10a + b = 476 なら、a = 32, b=156（不適） 

答　314439246 

４．解答例３(パリンさん他)

求める数を ｎ＝３１４ａｂ９２ｃｄ= ｐｑｒｓｔｕ×９９９ とする。 

参考図1

ｐ＝３、ｑ＝１、ｒ＝５or４、ｓ＝７が分かります。

参考図2

ｒ＝４、ｕ＝４と分かります。

参考図3

よって、ｎ＝３１４ａｂ９２ｃ６＝３１４７ｔ４×９９９　となります。
　９９９＝９９０＋９　より、
　ｎ＝３１４７ｔ４×９９０＋３１４７ｔ４×９
ｎは、９９の倍数でもあることから、３１４７ｔ４は１１の倍数。

よって、３＋４＋ｔ−（１＋７＋４）＝ｔ−５は１１の倍数。
従って、ｔ＝５。

以上から、ｎ＝３１４７５４×９９９＝３１４４３９２４６

５．解答例４(多数)　計算で求める方法

（アプローチ１）
　９９９と９９の最小公倍数は、３７×２７×１１＝１０９８９なので、
　ｎ＝３１４ａｂ９２ｃｄ＝１０９８９×ｐ

　３１４００９２００≦ｎ≦３１４９９９２９９
　３１４００９２００／１０９８９＝２８５７４．８６
　３１４９９９２９９／１０９８９＝２８６６４．９６より、
　２８５７５≦ｐ≦２８６６４

　あとは、１０９８９×ｐをひたすら計算して結果が、３１４ａｂ９２ｃｄのパターンに
　なるものを求めると、ｐ＝２８６１４を得るので、
　　ｎ＝２８６１４×１０９８９＝３１４４３９２４６

このアプローチで解いた方は、
　杉本未来さん、Hamayanさん、ありっちさん、Taroさん、小太りおじさん
　しゅうさん、C-Dさん、井合宗太郎さん、吉川マサルさん、ハラギャーテイさん、
　まるケンさん、うっしーさん、紫ママさん、巷の夢さん

また計算方法は、電卓、EXCEL、ＶＢ、ＢＡＳＩＣ、Ｐｅｒｌ、Mathematica等さまざまでした。

（アプローチ２）
　　ｎ＝３１４００９２００＋ａ×１００００＋ｂ（0≦ａ、ｂ≦９９）とおき、
　　ａ、ｂについて全ての組み合わせを計算し、ｎが９９９および９９の倍数となるものを
　　求める。

このアプローチで解いた方は、
　わかさひ君、中村明海さん、永弘さん、柚奇神太郎さん

また計算方法は、Ｐｅｒｌ、ＵＢＡＳＩＣ、Mathematica等でした。