問題（平面図形）
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左図でABCDは長方形です。 △AEGと△ADGの面積の比を、最も簡単な整数の比として表わしなさい。 |
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解答例１［AE：AD（高さが等しい） ］
| Banyanyanさん、ながちゃんさん、永嶋 幸司さん、ふじさきたつみさん、mhayashiさん、 ほなみさん、長野美光さん、文花さん、有無相生さん、信三さん、 tomhさん、まるケンさん、数楽者さん、マッスルさん、わにがわさん、 あまれっとさん、きょえぴさん、Feroさん、mkuraさん、TOMOKIさん、 USKさん、大岡 敏幸さん、とらいしくるさん、算数題魔人さん、 まこさん、 他 |
Gから辺AB、ADに下ろした垂線の足をそれぞれH、H'とします。
ＡＥ＝ＡＢ−ＥＢ＝８−１＝７ｃｍ。
BF＝BC−FC＝１１−３＝８ｃｍ、
従って、AB＝BF＝８ｃｍ。よって、△ABFは、AB＝BFの二等辺三角形となるので、
∠BAF＝∠DAF＝４５°。従って、GH＝AH＝GH'。
△AEＧ＝1/2×ＡＥ×ＨＧ、△AＤＧ＝1/2×ＡＤ×Ｈ'Ｇより、
△AEＧ：△AＤＧ＝ＡＥ：ＡＤ＝７：１１。答 ７：１１
以上
解答例２［AFとDCを延長して ］
| maruhagedonさん、辻。さん、ヌオさん、N.Nishiさん、スモークマンさん、 Nの悲劇さん、智ベン和歌山さん、トトロ＠Ｎさん、美登利さん、ひろひでさん、 航介さん、他 |
ＡＦとＤＣの延長線の交点をＨとし、ＡからＤＥに下ろした垂線の足をＨ'とします。
解答例１同様に∠ＢＡＦ＝４５°を得るから、∠ＤＨＡ＝∠ＢＡＦ＝４５°。
よって、ＤＨ＝ＡＤ＝１１ｃｍ。△AEＧ＝1/2×ＥＧ×ＡＨ'、△AＤＧ＝1/2×ＧＤ×ＡＨ'より、
△AEＧ：△AＤＧ＝ＥＧ：ＧＤ ・・・ （１）ＡＢとＤＨは平行より、△ＡＧＥと△ＨＧＤは相似、
よって、ＥＧ：ＧＤ＝ＡＥ：ＨＤ＝７：１１ ・・・ （２）（１）、（２）より、△AEＧ：△AＤＧ＝７：１１。
解答例３［△AEG：△ADG＝△AEF：△ADF ］
| ＴＯＲＡさん、Taroさん、ミミズクはくず耳さん、勝浦捨てる造さん、HEROさん、 AIRさん、 他 |
解答例２と同様にして、△AEＧ：△AＤＧ＝ＥＧ：ＧＤ ・・・ （１）
また、これと同様に、△ＦEＧ：△ＦＤＧ＝ＥＧ：ＧＤ ・・・ （２）（１）、（２）より、
△ＡＥＦ：△ＡＤＦ
＝（△AEＧ＋△ＦEＧ）：（△AＤＧ＋△ＦＤＧ）
＝ＥＧ：ＧＤ ・・・ （３）△ＡＥＦ＝1/2×ＡＥ×ＢＦ＝1/2×７×８
△ＡＤＦ＝1/2×ＡＤ×ＣＤ＝1/2×１１×８、
よって、△ＡＥＦ：△ＡＤＦ＝７：１１ ・・・ （４）（１）、（３）、（４）より、
△AEＧ：△AＤＧ＝ＥＧ：ＧＤ＝△ＡＥＦ：△ＡＤＦ＝７：１１
解答例４［△ＡＥＧ：△ＡＤＧ＝ＥＧ：ＧＤ＝ＥＨ：ＡD ］
| ＧＲＯＭＩＴさん、HAJIさん、修平さん、MIKIちゃんさん、他 |
Ｅを通りＢＣと平行な直線を引き、ＡＦとの交点をＨとします。
解答例２と同様にして、△AEＧ：△AＤＧ＝ＥＧ：ＧＤ ・・・ （１）
△ＡＥＨは直角二等辺三角形だから、ＥＨ＝ＡＥ＝７ｃｍ。
ＡＤとＥＨが平行より、△ＧＥＨと△ＧＤＡは相似、
よって、ＥＧ：ＧＤ＝ＥＨ：ＡＤ＝７：１１ ・・・ （２）（１）、（２）より、△AEＧ：△AＤＧ＝ＥＧ：ＧＤ＝７：１１
解答例５［角の二等分線の定理を使って］
| ねこやんさん、hayatoさん、他 |
解答例１、２と同様に、
∠ＥＡＧ＝∠ＤＡＧ＝４５° ・・・ （１）
△AEＧ：△AＤＧ＝ＥＧ：ＧＤ ・・・ （２）従って、三角形の角の二等分線に関する公式より、
ＥＧ：ＧＤ＝ＡＥ：ＡＤ＝７：１１ ・・・ （３）。（２）、（３）より、
△AEＧ：△AＤＧ＝ＥＧ：ＧＤ＝７：１１
