第１問（１）の解答
１．問題
| （１）１２個のおもりがあります。このうち、１個だけ他のおもりと重さが異なるものがあります。天秤を利用して何回かおもりを量り、どのおもりが他と異なるかを見つけて下さい。 さて、おもりを量る回数をできるだけ少なくするとして、最大何回量ればいいでしょうか。 また、その具体的な量り方を考えて下さい。 （２）７回まで量ることができるとします。このとき、最大何個のおもりのなから１個だけある重さの異なるものを見つけることができるでしょうか。 |
２．設問（１）
（おもりが１２個の場合）
以下の方法で３回はかれば判定できます。
・１回目：１、２，３，４のおもりを左、５，６，７，８のおもりを右に載せます。
１．左が重いとき
１，２，３，４のどれかが重いか、
５，６，７，８のどれかがが軽い、
９，１０，１１，１２は正しいと分かります。
・２回目：１，２，５を左、３，４，６を右に載せます。
・左が重い
１，２のどれかが重いか、６が軽い、
残りは正しいと分かります。→
・３回目：１を左、２を右に載せます。 ・左が重い→１が重い
・釣り合う→６が軽い
・右が重い→２が軽い
・釣り合う
７，８のどれかが軽い、
残りは正しいと分かります。→
・３回目：７を左、８を右に載せます。 ・左が重い→８が軽い
・釣り合う→なし
・右が重い→７が軽い
・右が重い
３，４のどれかが重いか、５が軽い、
残りは正しいと分かります。→
・３回目：３を左、４を右に載せます。 ・左が重い→３が重い
・釣り合う→５が軽い
・右が重い→４が重い
２．釣り合うとき
１，２，３，４，５，６，７，８は正しく、
９，１０，１１，１２のどれかが異なると分かります。
・２回目：９を左、１０を右に載せます。
以下、４個の場合と同様
３．右が重いとき
１，２，３，４のどれかが軽いか、
５，６，７，８のどれかがが重い、
９，１０，１１，１２は正しいと分かります。・２回目：１，２，５を左、３，４，６を右に載せます。
・左が重い
３，４のどれかが軽いか、５が重い、
残りは正しいと分かります。→
・３回目：３を左、４を右に載せます。 ・左が重い→４が軽い
・釣り合う→５が重い
・右が重い→３が軽い
・釣り合う
７，８のどれかが重い、
残りは正しいと分かります。→
・３回目：７を左、８を右に載せます。 ・左が重い→７が重い
・釣り合う→なし
・右が重い→８が重い
・右が重い
１，２のどれかが軽いか、６が重い、
残りは正しいと分かります。→
・３回目：１を左、２を右に載せます。 ・左が重い→２が軽い
・釣り合う→６が重い
・右が重い→１が軽い
以上
（おもりが１３個の場合）
実は、３回で判定できるおもりの最大個数は１３個です。これは、２回目以降では正しいおもりを利用できるのを１２個の場合では使わなかったためです。
判定方法は、１２個の場合同様４個ずつ天秤に載せ、９，１０，１１，１２，１３の５個を残します。
天秤がどちらかに傾いた場合は１２個の場合と全く同様に判定できます。
・釣り合った場合：９，１０，１１，１２，１３のどれかが異なり、その他は正しいと分かります。
９，１０，１１を左に、正しい１，２，３を右に載せます。
・左が重い
９，１０，１１のどれかが重い、
残りは正しいと分かります。→
・３回目：９を左、１０を右に載せます。 ・左が重い→９が重い
・釣り合う→１１が重い
・右が重い→１０が重い
・釣り合う
１２，１３のどれかが異なる、
残りは正しいと分かります。→
・３回目：１２を左、１を右に載せます。 ・左が重い→１２が重い
・釣り合う→１３が異なる
・右が重い→１２が軽い
・右が重い
９，１０，１１のどれかが軽い、
残りは正しいと分かります。→
・３回目：９を左、１０を右に載せます。 ・左が重い→１０が軽い
・釣り合う→１１が軽い
・右が重い→９が軽い
以上
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