第２問（１）の解答
１．問題
| （１）７個のおもりがあります。重さは、１ｇ、３ｇ、９ｇ、２７ｇ、８１ｇ、２４３ｇ、７２９ｇです。天秤とこれらのおもりを利用して１ｇから１０９３ｇまでの連続した整数に対する重さの全てをはかることができます。このことを説明して下さい。 （２）７７７ｇをはかるには、天秤におもりをどのように載せればよいでしょうか |
２．設問（１）：解答例１（三好知之さん他）
帰納法的に考えてみましょう。
・おもりが１個のとき：１ｇを量ることができます。
・おもりが２個になったとき：２〜４ｇを量ることができます。
１ｇを右に載せることで３−１＝２ｇを量ることができる。
３ｇを量ることができる。
１ｇを左に載せることで３＋１＝４ｇを量ることができる。
・おもりが３個になったとき：５〜１３ｇを量ることができる。・１〜４ｇまでの量り方と逆の載せ方にし、９ｇを左に載せる。
９−４＝５ｇ〜９−１＝８ｇを量ることができる。
・９ｇを左に載せる。
９ｇを量ることができる。
・１〜４ｇまでの量り方と同じにし、９ｇを左に載せる。
９＋１＝１０ｇ〜９＋４＝１３ｇを量ることができる。・おもりが４個になったとき：１４〜４０ｇを量ることができる。
・１〜１３ｇまでの量り方と逆の載せ方にし、２７ｇを左に載せる。
２７−１３＝１４ｇ〜２７−１＝２６ｇを量ることができる。
・２７ｇを左に載せる。
２７ｇを量ることができる。
・１〜１３ｇまでの量り方と同じにし、２７ｇを左に載せる。
２７＋１＝２８ｇ〜２７＋１３＝４０ｇを量ることができる。・おもりが５個になったとき：４１〜１２１ｇを量ることができる。
・１〜４０ｇまでの量り方と逆の載せ方にし、８１ｇを左に載せる。
８１−４０＝４１ｇ〜８１−１＝８０ｇを量ることができる。
・８１ｇを左に載せる。
８１ｇを量ることができる。
・１〜４０ｇまでの量り方と同じにし、８１ｇを左に載せる。
８１＋１＝８２ｇ〜８１＋４０＝１２１ｇを量ることができる。・おもりが６個になったとき：１２２〜３６４ｇを量ることができる。
・１〜１２１ｇまでの量り方と逆の載せ方にし、２４３ｇを左に載せる。
２４３−１２１＝１２２ｇ〜２４３−１＝２４２ｇを量ることができる。
・２４３ｇを左に載せる。
２４３ｇを量ることができる。
・１〜１２１ｇまでの量り方と同じにし、２４３ｇを左に載せる。
２４３＋１＝２４４ｇ〜２４３＋１２１＝３６４ｇを量ることができる。・おもりが７個になったとき：３６５〜１０９３ｇを量ることができる。
・１〜３６４ｇまでの量り方と逆の載せ方にし、７２９ｇを左に載せる。
７２９−３６４＝３６５ｇ〜７２９−１＝７２８ｇを量ることができる。
・７２９ｇを左に載せる。
７２９ｇを量ることができる。
・１〜３６４ｇまでの量り方と同じにし、７２９ｇを左に載せる。
７２９＋１＝７３０ｇ〜７２９＋３６４＝１０９３ｇを量ることができる。
以上
３．設問（１）：解答例２（中村明海さんによる）
| （補題） １≦X≦１０９３に対して、 X＝A0＋A1×３1＋A2×３2＋A3×３3＋A4×３4＋A5×３5＋A6×３6 と表せる。ただし、A0、・・、A6＝−１，０，１のいづれかとする。 |
X１＝１＋１×３1＋１×３2＋１×３3＋１×３4＋１×３5＋１×３6＝１０９３、
Ｘ２＝２＋２×３1＋２×３2＋２×３3＋２×３4＋２×３5＋２×３6＝２０９６とおく。Y=X+X1とすると、１０９４≦Ｙ≦X２となる。
Ｙを３進数で表し、
Y＝B0＋B1×３1＋B2×３2＋B3×３3＋B4×３4＋B5×３5＋B6×３6
とする。ただし、B0、・・、B6＝0，1，2である。このとき、
X＝Y-X1
＝（B0＋B1×３1＋B2×３2＋B3×３3＋B4×３4＋B5×３5＋B6×３6）−
（１ ＋１×３1 ＋１×３2 ＋１×３3 ＋１×３4 ＋１×３5 ＋１×３6）
＝（（B0-1)＋（B1-1)×３1＋（B2−１）×３2＋（B3−１）×３3＋（B4−１）×３4＋（B5−１）×３5＋B6×３6）よって、A0=B0-1、・・、A6=B6-1とおけば、A0、・・、A6＝−１，０，１となり、
X＝A0＋A1×３1＋A2×３2＋A3×３3＋A4×３4＋A5×３5＋A6×３6
となる。（補題の証明終わり）
さて、１≦X≦１０９３に対して、補題より
X＝A0＋A1×３1＋A2×３2＋A3×３3＋A4×３4＋A5×３5＋A6×３6
と表せる。ただし、A0、・・、A6＝−１，０，１のいづれか。このとき、0≦n≦6に対して、Anが
−１であれば３nのおもりを左の天秤に載せる、
０であれば３nのおもりはどの天秤にも載せない、
＋１であれば３nのおもりを左の天秤に載せる
ことにすれば、Xｇを量ることができる。以上
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