第29問の解答


1.問題

問題図
左図のように△ABCの各辺を1:3に内分する点をD、E、Fとします。
また、AE、BF、CD、の交点をP、Q、Rとします。

PQRの面積と△ABC面積の比はいくらになるでしょうか。


2.解答例1

まず、各線分の長さの比を求めます。

求める方法としては、
 ・三角形の面積比で考える
 ・メネラウスの定理を用いる
 ・ベクトルを用いる
などが考えられますが、ここではメネラウスの定理を用いることにしましょう。

図1
参考図1

△DBC
と直線AEについて、
メネラウスの定理より、
(DA/AB)・(BE/EC)・(CP/PD)=1
(1/4)・(1/3)・(CP/PD)=1
よって、CP:PD=12:1。 ・・・ (1)
図2
参考図2

△ADC
と直線BFについて、メネラウスの定理より、
(AB/BD)・(DR/RC)・(CF/FA)=1
(4/3)・(DR/RC)・(1/3)=1
よって、DR:RC=9:4。 ・・・ (2)

(1)、(2)より、CR:RP:PD=4:8:1
同様にして、AP:PQ:QE=4:8:1、BQ:QR:RF=4:8:1。

図3
参考図3

S=△ABCとします。

△DBC=S×DB/AB=S×3/4
△DBR=△DBC×9/13=S×(3/4)×(9/13)
△PQR=△DBR×(PR/DR)×(QR/BR)
    =S×(3/4)×(9/13)×(8/9)×(8/12)
    =S×4/13

よって、△PQR:△ABC=4:13

答:4:13

以上  


3.解答例2Hamayanさん、他)

各線分の比を求めるところまでは、解答例1と同じ。

△PQRの各辺PQ、QR、RPの中点を結び△PQR4等分します。
s=△PQR/4とします。

図4
参考図4

解答例1図3のように各線分の比が求まっていますから、
A、P、PQの中点、B、C
を通り辺QR平行な直線、
B、Q、QRの中点、C、Aを通り辺RP平行な直線、
C、R、RPの中点、A、Bを通り辺PQ平行な直線を引くと
図4のようになります。

△ABQ=平行四辺形AC1BQ/2=3s
△BCR=平行四辺形BA1CR/2=3s
△CAR=平行四辺形CB1AP/2=3s

よって、
△ABC=△PQR+△ABQ+△BCR+△CAR
    =4s+3s+3s+3s=13s

従って、△PQR:△ABC=4s:13s=4:13