第315問の解答


問題 [空間図形]

問題図 左図のような、高さ9cm円柱があります。

いま、円柱上面正三角形ABCを、下面正三角形DEFを、上から見たところが右の図のようになるようにとりました。(点D、E、Fはそれぞれ弧AB、弧BC、弧CA中点です。)

また、正三角形ABC面積14cm2となっています。

このとき、図の立体(面が全て三角形の8面体体積を求めて下さい。


解答例1

暇な人間さん、Banyanyanさん、トトロ@Nさん、ねこやんさん、Taroさん、ふじさきたつみさん、M.Hossieさん、kokoさん 、あんみつさん、小西孝一さん、ωさん、あやのりんさん、大岡 敏幸さん、 他 多数

下図のように、問題の立体正六角柱にすっぽり入ります。(参考:214回問題

参考図1

正六角柱上面・下面である正六角形面積は、正三角形ABCの2倍=28cm3

問題の立体は、この正六角柱から全て同じ大きさの三角錐六個を除いたものになっています。

また、この三角錐底面は、正三角形1/3、高さ正六角柱と同じ9cm

従って、求める立体の体積は、
 28×9−1/3×(1/3×14)×9×6
=28×9×2/3
168cm3

答: 168cm3

以上


解答例2

CRYING DOLPHINさん、mhayashiさん、ミミズクはくず耳さん、高橋 道広さん、長野美光さん、 他

下図のように底面DEFの縦横2倍となる正三角形で、高さが求める立体のとなる正三角錐を考えます。

参考図2

求める立体は、この正三角錐から、底面DEFと同じ正三角形で、高さが求める立体と同じ正三角錐を4個取り除いたものとなっています。

従って、体積=1/3×(14×4)×(9×2)−(1/3×14×9)×4=336−168=168cm3

(参考)「正四面体の4隅(4つの頂点)から、半分の大きさ(体積1/8)の正四面体4つを 切り落とすと正8面体ができる。(第131問・解答例2)」


(その他の解法)