第419問の解答


問題[平面図形]

問題図

左図のような五角形ABCDEがあります。図中の数字は、対角線によって五角形分割されてできた各三角形の面積
を表しています。

このとき、
 (1) 四角形PCDT面積(ピンク色の部分)
 (2) 五角形PQRST面積(?の部分)
を求めてください。


解答例1

Gouさん、あ〜く@ぴかぴかの(略さん、姉小路さん、トトロ@Nさん、CRYING DOLPHINさん、ゴンともさん、ミミズクはくず耳さん、M.Hossieさん、みかんさん、カゲコさん、あさみかずみさん、 他多数

(補題)△ABCの辺AB上の点D、AC上の点Eに関して、
△ADE=△ABC×AD/AB×AE/AC(証明はこちら

補題図
 

  1. 補題を用いて、△ACDの面積を求めてみましょう。

参考図1

△BAP△BPQ△BQCは、高さが共通なので面積底辺の長さの比に等しい。
よって、
 APPQQC=24:16:20=6:4:5  ・・・ (1)

同様に、
  ATTSSD=12:3:45=4:1:15  ・・・ (2)

補題より、
 △APT△ACD×AP/AC×AT/AD
  24=△ACD
×6/15×4/20
    =△ACD
×2/25

よって、
 △ACD=24×25/2=300cm2 

従って、
 四角形PCDT△ACD△APT=300−24=276cm2
と求まります。
 

  1. 面積比を用いて、△QCRの面積を求めてみましょう。

QSを結び、三角形を分割して考えます。

参考図1

まず、 △ACS△SCDASSD=5:15=1:3
よって、
 △ACS=△ACD×1/4=300×1/4=75cm2 
 △SCD=△ACD×3/4=300×1/4=225cm2 ・・・ ( 3)

次に、
 △SAQ△SQCAQ:QC=10:5=2:1
よって、
 △AQS=△ACS×1/3=75×2/3=50cm2 
 △QCE=△ACS×3/4=75×1/3=25cm2 ・・・ ( 4)

(3)、(4)より、 
 QR:RD=△SQR△SCD=25:225=1:9 ・・・ ( 5)

さて、 △AQD△QCDAQQC2:1
よって、
 △AQD=△ACD×2/3=300×2/3=200cm2 
 △QCD=△ACD×1/3=300×1/3=100cm2 ・・・ ( 6) 

(5)、(6)より、
 △QCR
△RCDQRRD1:9
よって、
 △QCR=△QCD×1/10=100×1/10=10cm2 ・・・ ( 7) 
 △RCD=△QCD×9/10=100×9/10=90cm2  

以上より、
 五角形PQRST
△ACS△APT△QCR
=75−24−10
41cm2
と求まります。

答:  (1)276cm2(2)41cm2

以上


解答例2

きょろ文さん、 他

(1)は、解答例1と皆さんほぼ同じなので、以下では、(2)について解答例を紹介いたします。

参考図2

 BR:QR:RDを求めてみましょう。

まず、
 BQ
QD△ABC△ACD=60:300=1:5 ・・・ (1)

次に、
 △EBC
△ACD△APT△ETS△PBC=75−24+3+36=90cm2
 △ECD
△SCD△ESD=225+45=270cm2
よって、
 BR
RD△EBC△ECD=90:270=1:3 ・・・ (2)

(1)より、BQQD=2:10
(2)より、BRRD=3:9
よって、BR:QR:RD=2:1:9 ・・・ (3)

(3)より、
 △BCQ:△QCR:△RCDBR:QR:RD
よって、
 △QCR△BCQ×1/2=20×1/2=10cm2
 
従って、
 五角形PQRST
△ACS△APT△QCR
=75−24−10
41cm2
と求まります。


解答例3

uchinyanさん、 他

参考図3

△ACS直線BDに関してメネラウスの定理より、 
 AQ/QC×CR/RS×SD/DA=1

 (24+16)/20×CR/RS×45/(45+3+12)=1
よって、
 CR/RS=1/2×4/3=2/3

従って補題より、
 △QCR△ACS×CQ/CA×CR/CE75×1/3×2/5=10cm2

従って、
 五角形PQRST
△ACS△APT△QCR
=75−24−10
41cm2
と求まります。


解答例4

おかひで博士さん、鉄腕アトムでーすさん、スモークマンさん、cresta97gx100さん、りえパパさん、 他

四角形ABRE平行四辺形であることを利用します。

参考図4

△EAB=12+24+24=60cm2
△CAB=24+16+20=60cm2
よって、△EAB△CAB

△EAB△CABは、底辺共通だから高さが等しいことが分かります。
従って、ABEC平行となります。

次に、
△BAE=12+24+24=60cm2
△DAE=12+3+45=60cm2
よって、△BAE△DAE

従って、同様にしてAEBD平行となります。

よって、四角形ABRE平行四辺形となります。

 すると、
 △EBR△BAE60cm2
よって、
 五角形PQRST
=60−16−3
41cm2
と求まります。