第４３４問の解答

問題［平面図形］

左図のような四角形ＡＢＣＤがあり、ＡＢの中点をＭ、ＣＤの中点をＮとします。

いま、ＭＮと対角線ＡＣ、ＢＤの交点をそれぞれＲ、Ｑ、ＡＣとＢＤの交点をＰとします。すると、ＰＱ＝ＰＲ、ＢＱ：ＱＰ：ＰＤ＝６：１：２となりました。

このとき、四角形ＡＢＣＤの面積は、△ＰＱＲの面積の何倍か求めてください。

解答例１

マサルさん、uchinyanさん、他

辺BCの中点をEとします。

△BEMと△BCAについて中点連結定理より、
　EMとCAは平行、EM＝CA×１/２　・・・　（１）
△CNEと△CDBについて中点連結定理より、
　NEとDBは平行、NE＝DB×１/２　・・・　（２）
となります。

（１）より、EMとCAが平行だから、∠EMN＝∠PRQ（錯角）
（２）より、NEとDBが平行だから、∠ENM＝∠PQR（錯角）
ところが、△PQRはPQ＝PRの二等辺三角形なので、∠PRQ＝∠PQR、
よって、∠EMN＝∠ENMとなるので、
　△ENMも△PQRと相似でEM＝ENの二等辺三角形と分かります。

従って、（１）、（２）より、ＣＡ＝ＢＤとなります。

高さが同じ三角形の面積比＝底辺の長さの比より、△ＰＱＲの面積を１とすると、
　△ＲＰＢ＝△ＰＱＲ×ＰＢ/PQ＝７
　△ＣＢＡ＝△ＲＰＢ×ＣＡ/ＰＲ＝７×９＝６３　・・・　（３）
また、
　△ＲＤＰ＝△ＰＱＲ×ＤＰ/PQ＝２
　△ＣＡＣ＝△ＲＤＰ×ＣＡ/ＰＲ＝２×９＝１８　・・・　（４）

よって、（３）、（４）より、
　四角形ＡＢＣＤ＝△ＣＢＡ＋△ＣＡＣ＝６３＋１８＝８１　
と求まります。

答：８１倍

以上

解答例２

姉小路さん、あーく＠19さん、他

Ｄを通りＮＭと平行に引いた直線とＡＢの交点をＥ、ＡＣとの交点をＴとし、
Ｃを通りＮＭと平行に引いた直線とＡＢの交点をＦ、ＡＣとの交点をＳとします。

△ＤＱＮと△ＤＳＣについて中点連結定理より、ＤＱ＝ＱＳ、
よって、ＰＱの長さを１とすると、
　ＱＳ＝ＤＱ＝ＰＱ＋ＤＰ＝１＋２＝３
従って、
　ＳＢ＝ＢＱ－ＱＳ＝６－３＝３

ＱＲとＳＣが平行より、△ＰＱＲと△ＰＳＣは相似、
従って、ＰＲ：ＲＣ＝ＰＱ：ＱＳ＝１：３、よって、ＲＣ＝３。

また、ＱＲとＴＤが平行より、△ＰＱＲと△ＰＤＴは相似、
従って、ＰＲ：ＰＴ＝ＰＱ：ＰＤ＝１：２、よって、ＰＴ＝２。

さらに、ＳＦとＱＭ、ＤＥが平行より、△ＢＳＦ△ＢＱＭおよび△ＢＤＥは相似、
従って、ＢＦ：ＦＭ：ＭＥ＝ＢＳ：ＳＱ：ＱＤ＝３：３：３＝１：１：１、
ところがＭＡ＝ＢＭだから、ＭＥ＝ＭＡ×１/２＝ＥＡとなります。

最後に、△ＡＥＴと△ＡＮＲについて中点連結定理より、
ＡＴ＝ＴＲ＝ＰＴ＋ＰＲ＝２＋１＝３

以上から、ＡＣ＝ＡＴ＋ＴＰ＋ＰＲ＋ＲＣ＝３＋２＋１＋３＝９
となります。

以下、解答例１と同様。

解答例３

トロ＠Ｎさん、みかんさん、他

△ＤQＣに関してチェバの定理より、
　ＤＰ/ＰＱ・ＱＥ/ＥＣ・ＣＮ/ＮＤ＝１、
　２/１・ＱＥ/ＥＣ・１/１＝１、
よって、ＱＥ：ＥＣ＝１：２。

すると、チェバの定理の補題より、
　ＣＲ/ＲＰ＝ＣＥ/ＥＱ＋ＣＮ/ＤＮ＝２/１＋１/１＝３
よって、ＰＲの長さを１とすると、ＣＲ＝３となります。

また、△ＡＢＲに関してチェバの定理の補題より、
　ＢＱ/ＱＰ＝ＢＭ/ＭＡ＋ＢＦ/ＦＲ＝１/１＋ＢＦ/ＦＲ＝６/１、
　ＢＦ/ＦＲ＝５、
よって、ＢＦ：ＦＲ＝５：１。

すると、チェバの定理より、
　ＡＭ/ＭＢ・ＢＦ/ＦＲ・ＲＰ/ＰＡ＝１、
　１/１・５/１・ＲＰ/ＰＡ＝１
　ＲＰ/ＰＡ＝５
よって、ＰＡ＝５となります。

以上から、ＡＣ＝ＡＴ＋ＴＰ＋ＰＲ＋ＲＣ＝３＋２＋１＋３＝９
となり、以下同様。

解答例４

アヒーのおじさんさん、uchinyanさん、ヤッコチャさん、kaizer YSさん、N.Nishiさん、他

△ＤＰＣと直線ＭＮに関してメネラウスの定理より、
　ＤＱ/ＱＰ・ＰＲ/ＲＣ・ＣＮ/ＮＤ＝１、
　３/１・ＰＲ/ＲＣ・１/１＝１、
よって、ＰＲ/ＲＣ＝１/３、ＲＣ＝３となります。

また、△ＡＢＰと直線ＭＮに関してメネラウスの定理より、
　ＡＭ/ＭＢ・ＢＱ/ＱＰ・ＰＲ/ＲＡ＝１、
　１/１・６/１・ＰＲ/ＲＡ＝１、
よって、ＰＲ/ＲＡ＝１/６、ＲＡ＝６、
従って、ＰＡ＝ＲＡ－ＰＲ＝５となります。

以上から、ＡＣ＝ＡＴ＋ＴＰ＋ＰＲ＋ＲＣ＝３＋２＋１＋３＝９
となり、以下同様。

解答例５

エルクさん、他

中点Ｎを通りＡＣと平行に引いた直線とＢＤの交点をＴ、
中点Ｍを通りＡＣと平行に引いた直線とＢＤの交点をＳとします。

△ＢＰＡに関し中点連結定理より、ＢＳ＝ＳＰ、
　ＢＳ＋ＳＰ＝ＢＱ＋ＱＰ＝６＋１＝７だから、
　ＢＳ＝ＳＰ＝３．５、ＳＱ＝ＢＱ－ＢＳ＝６－３．５＝２．５
となります。

次に、ＰＲとＭＳが平行だから、△ＳＱＭと△ＰＱＲは相似、
よって、ＭＳ：ＰＲ＝ＳＱ：ＰＱ＝２．５：１、ＭＳ＝２．５。

さきほどの△ＢＰＡに関した中点連結定理より、
　ＡＰ＝ＭＳ×２＝２．５×２＝５。

また、△ＤＰＣに関し中点連結定理より、ＤＴ＝ＰＴ、
　ＤＴ＋ＰＴ＝ＰＤ＝２だから、
　ＤＴ＝ＰＴ＝１
となります。

すると、△ＱＮＴに関し中点連結定理より、
　ＴＮ＝ＰＲ×２＝２。

よって、△ＤＰＣに関し中点連結定理より、
　ＰＣ＝ＴＮ×２＝４、ＲＣ＝ＰＣ－ＰＲ＝３。

以下、同様。

解答例６

あさみかずみさん、他

高さが同じ三角形の面積比＝底辺の長さの比より、△ＰＱＲの面積を１とすると、
　△ＲＤＰ＝△ＰＱＲ×ＤＰ/ＰＱ＝１×２/１＝２。

また、
　△ＣＱＲ＝△ＤＱＲ×ＣＮ/ＤＮ＝３×１/１＝３、
　△ＣＤＲ＝△ＣＱＲ×ＤＰ/ＰＱ＝３×２/１＝６、
　△ＣＱＢ＝△ＣＰＱ×ＢＱ/ＰＱ＝４×６/１＝２４。　

今度は、△ＲＢＱ＝△ＰＱＲ×ＢＱ/ＰＱ＝１×６/１＝６、
よって、△ＡＱＲ＝△ＢＱＲ×ＢＭ/ＡＭ＝６×１/１＝６、
従って、△ＡＱＰ＝△ＡＱＲー△ＰＱＲ＝６－１＝５。

また、
　△ＡＢＱ＝△ＡＱＰ×ＢＱ/ＰＱ＝５×６/１＝３０、
　△ＡＰＤ＝△ＡＱＰ×ＰＤ/ＰＱ＝５×２/１＝１０。

以上から、
　　四角形ＡＢＣＤ
　＝△ＡＢＱ＋△ＡＱＰ＋△ＡＰＤ＋△ＣＢＱ＋△ＣＱＲ＋△ＰＱＲ＋△ＣＲＤ＋△ＲＰＤ
　＝３０＋５＋１０＋２４＋３＋１＋６＋２＝８１
と求まります。

解答例７

小学名探偵さん、他

ＱからＡＣに下ろした垂線の足をＨ₁、ＲからＢＤに下ろした垂線の足をＨ₂とします。

ＰＱ＝ＰＲ、∠ＱＰＨ₁＝∠ＲＰＨ₂、∠ＱＨ₁Ｐ＝∠ＲＨ₂Ｐ＝９０°より、
△ＱＰＨ₁と△ＲＰＨ₂は相似な直角三角形、
よって、ＱＨ₁＝ＲＨ₂。

従って、
　△ＱＣＡ：△ＲＤＢ
　＝１/２×ＡＣ×ＱＨ₁：１/２×ＢＤ×ＲＨ₂
　＝ＡＣ：ＢＤ　・・・　（１）
となります。

また、高さが同じ三角形の面積比＝底辺の長さの比より、
　△ＡＱＲ：△ＢＱＲ＝ＡＭ：ＢＭ＝１：１
よって、△ＡＱＲ＝△ＢＱＲ。　・・・　（２）

同様に、△ＤＱＲ＝△ＣＱＲ。　・・・　（３）

よって、（２）、（３）より、
　△ＱＣＡ＝△ＡＱＲ＋△ＣＱＲ＝△ＢＱＲ＋△ＤＱＲ＝△ＲＤＢ　・・・　（４）

従って、（１）、（４）より、ＡＣ＝ＢＤとなります。
以下、同様。

（その他の解法）

CADなどで作図して求める　・・・　kasamaさん、圭太さん、他
　

座標で表して方程式を解く　・・・　Toru Fukatsuさん、他


	Ｄを通りＮＭと平行に引いた直線とＡＢの交点をＥ、ＡＣとの交点をＴとし、Ｃを通りＮＭと平行に引いた直線とＡＢの交点をＦ、ＡＣとの交点をＳとします。 △ＤＱＮと△ＤＳＣについて中点連結定理より、ＤＱ＝ＱＳ、よって、ＰＱの長さを１とすると、　ＱＳ＝ＤＱ＝ＰＱ＋ＤＰ＝１＋２＝３従って、　ＳＢ＝ＢＱ－ＱＳ＝６－３＝３ＱＲとＳＣが平行より、△ＰＱＲと△ＰＳＣは相似、従って、ＰＲ：ＲＣ＝ＰＱ：ＱＳ＝１：３、よって、ＲＣ＝３。また、ＱＲとＴＤが平行より、△ＰＱＲと△ＰＤＴは相似、従って、ＰＲ：ＰＴ＝ＰＱ：ＰＤ＝１：２、よって、ＰＴ＝２。さらに、ＳＦとＱＭ、ＤＥが平行より、△ＢＳＦ△ＢＱＭおよび△ＢＤＥは相似、従って、ＢＦ：ＦＭ：ＭＥ＝ＢＳ：ＳＱ：ＱＤ＝３：３：３＝１：１：１、ところがＭＡ＝ＢＭだから、ＭＥ＝ＭＡ×１/２＝ＥＡとなります。最後に、△ＡＥＴと△ＡＮＲについて中点連結定理より、ＡＴ＝ＴＲ＝ＰＴ＋ＰＲ＝２＋１＝３以上から、ＡＣ＝ＡＴ＋ＴＰ＋ＰＲ＋ＲＣ＝３＋２＋１＋３＝９となります。以下、解答例１と同様。


	△ＤQＣに関してチェバの定理より、　ＤＰ/ＰＱ・ＱＥ/ＥＣ・ＣＮ/ＮＤ＝１、　２/１・ＱＥ/ＥＣ・１/１＝１、よって、ＱＥ：ＥＣ＝１：２。すると、チェバの定理の補題より、　ＣＲ/ＲＰ＝ＣＥ/ＥＱ＋ＣＮ/ＤＮ＝２/１＋１/１＝３よって、ＰＲの長さを１とすると、ＣＲ＝３となります。また、△ＡＢＲに関してチェバの定理の補題より、　ＢＱ/ＱＰ＝ＢＭ/ＭＡ＋ＢＦ/ＦＲ＝１/１＋ＢＦ/ＦＲ＝６/１、　ＢＦ/ＦＲ＝５、よって、ＢＦ：ＦＲ＝５：１。すると、チェバの定理より、　ＡＭ/ＭＢ・ＢＦ/ＦＲ・ＲＰ/ＰＡ＝１、　１/１・５/１・ＲＰ/ＰＡ＝１　ＲＰ/ＰＡ＝５よって、ＰＡ＝５となります。以上から、ＡＣ＝ＡＴ＋ＴＰ＋ＰＲ＋ＲＣ＝３＋２＋１＋３＝９となり、以下同様。


	△ＤＰＣと直線ＭＮに関してメネラウスの定理より、　ＤＱ/ＱＰ・ＰＲ/ＲＣ・ＣＮ/ＮＤ＝１、　３/１・ＰＲ/ＲＣ・１/１＝１、よって、ＰＲ/ＲＣ＝１/３、ＲＣ＝３となります。また、△ＡＢＰと直線ＭＮに関してメネラウスの定理より、　ＡＭ/ＭＢ・ＢＱ/ＱＰ・ＰＲ/ＲＡ＝１、　１/１・６/１・ＰＲ/ＲＡ＝１、よって、ＰＲ/ＲＡ＝１/６、ＲＡ＝６、従って、ＰＡ＝ＲＡ－ＰＲ＝５となります。以上から、ＡＣ＝ＡＴ＋ＴＰ＋ＰＲ＋ＲＣ＝３＋２＋１＋３＝９となり、以下同様。


	中点Ｎを通りＡＣと平行に引いた直線とＢＤの交点をＴ、中点Ｍを通りＡＣと平行に引いた直線とＢＤの交点をＳとします。 △ＢＰＡに関し中点連結定理より、ＢＳ＝ＳＰ、　ＢＳ＋ＳＰ＝ＢＱ＋ＱＰ＝６＋１＝７だから、　ＢＳ＝ＳＰ＝３．５、ＳＱ＝ＢＱ－ＢＳ＝６－３．５＝２．５となります。次に、ＰＲとＭＳが平行だから、△ＳＱＭと△ＰＱＲは相似、よって、ＭＳ：ＰＲ＝ＳＱ：ＰＱ＝２．５：１、ＭＳ＝２．５。さきほどの△ＢＰＡに関した中点連結定理より、　ＡＰ＝ＭＳ×２＝２．５×２＝５。また、△ＤＰＣに関し中点連結定理より、ＤＴ＝ＰＴ、　ＤＴ＋ＰＴ＝ＰＤ＝２だから、　ＤＴ＝ＰＴ＝１となります。すると、△ＱＮＴに関し中点連結定理より、　ＴＮ＝ＰＲ×２＝２。よって、△ＤＰＣに関し中点連結定理より、　ＰＣ＝ＴＮ×２＝４、ＲＣ＝ＰＣ－ＰＲ＝３。以下、同様。


	高さが同じ三角形の面積比＝底辺の長さの比より、△ＰＱＲの面積を１とすると、　△ＲＤＰ＝△ＰＱＲ×ＤＰ/ＰＱ＝１×２/１＝２。また、　△ＣＱＲ＝△ＤＱＲ×ＣＮ/ＤＮ＝３×１/１＝３、　△ＣＤＲ＝△ＣＱＲ×ＤＰ/ＰＱ＝３×２/１＝６、　△ＣＱＢ＝△ＣＰＱ×ＢＱ/ＰＱ＝４×６/１＝２４。　今度は、△ＲＢＱ＝△ＰＱＲ×ＢＱ/ＰＱ＝１×６/１＝６、よって、△ＡＱＲ＝△ＢＱＲ×ＢＭ/ＡＭ＝６×１/１＝６、従って、△ＡＱＰ＝△ＡＱＲー△ＰＱＲ＝６－１＝５。また、　△ＡＢＱ＝△ＡＱＰ×ＢＱ/ＰＱ＝５×６/１＝３０、　△ＡＰＤ＝△ＡＱＰ×ＰＤ/ＰＱ＝５×２/１＝１０。以上から、　　四角形ＡＢＣＤ　＝△ＡＢＱ＋△ＡＱＰ＋△ＡＰＤ＋△ＣＢＱ＋△ＣＱＲ＋△ＰＱＲ＋△ＣＲＤ＋△ＲＰＤ　＝３０＋５＋１０＋２４＋３＋１＋６＋２＝８１と求まります。


	ＱからＡＣに下ろした垂線の足をＨ₁、ＲからＢＤに下ろした垂線の足をＨ₂とします。ＰＱ＝ＰＲ、∠ＱＰＨ₁＝∠ＲＰＨ₂、∠ＱＨ₁Ｐ＝∠ＲＨ₂Ｐ＝９０°より、 △ＱＰＨ₁と△ＲＰＨ₂は相似な直角三角形、よって、ＱＨ₁＝ＲＨ₂。従って、　△ＱＣＡ：△ＲＤＢ　＝１/２×ＡＣ×ＱＨ₁：１/２×ＢＤ×ＲＨ₂ 　＝ＡＣ：ＢＤ　・・・　（１）となります。また、高さが同じ三角形の面積比＝底辺の長さの比より、　△ＡＱＲ：△ＢＱＲ＝ＡＭ：ＢＭ＝１：１よって、△ＡＱＲ＝△ＢＱＲ。　・・・　（２）同様に、△ＤＱＲ＝△ＣＱＲ。　・・・　（３）よって、（２）、（３）より、　△ＱＣＡ＝△ＡＱＲ＋△ＣＱＲ＝△ＢＱＲ＋△ＤＱＲ＝△ＲＤＢ　・・・　（４）従って、（１）、（４）より、ＡＣ＝ＢＤとなります。以下、同様。