第８５問の解答

問題［平面図形]

左図のABCDは長方形です。

四角形ABCG（斜線部分）の面積は何cm²になりますか？
　

解答例１［AFを延長する、ビシュッと]

あまれっとさん、Nなヒトさん、ziziさん、ヌオさん、浜直君さん、 elmotitiさん、サラのパパさん、　ライスさん、他

AFを延長してBCと交わった点をＨとします。

ＡＢとＦＣは平行だから、△ＡＢＨと△ＦＣＨは相似で、
相似比はＦＣ：ＡＢ＝４：１２＝１：３。
従って、ＨＣ：ＨＢ＝１：３、ＨＣ：ＣＢ＝１：２、
よって、ＨＣ＝ＢＣ×１/２＝１６×１/２＝８cm。

次に、ＡＥとＨＣは平行だから、△ＡＥＧと△ＨＣＧは相似で、
相似比はＡＥ：ＨＣ＝１２：８＝３：２、
よって、cm²。　となります。　・・・　（１）

△ＡＣＨ＝１/２×ＣＨ×ＣＤ＝１/２×８×１２＝４８cm²。
△ACHの底辺をAHと考えれば、
　△CAG：△CGH＝AG：GH＝３：２。

よって、△AGC＝△ACH×３/５＝４８×０．６＝２８．８cm²。

また、△ABC＝１/２×BC×AB＝１/２×１６×１２＝９６cm²。

従って、四角形ABCG＝△ABC＋△AGC＝９６＋２８．８＝１２４．８cm²と求まります。

答　１２４．８cm²

以上

（類解１）

同様に、EG：GC＝３：２、
よって、
△GCF＝△CED×２/５×４/１２＝２４×２/１５＝３．２cm²。
また、台形ABCF＝１/２×（１２＋４）×１２＝１２８cm²。
四角形ABCG＝台形ABCF－△GCF＝１２８－３．２＝１２４．８cm²。

（類解２）

同様に、
△HGC＝△HAB×２/５×８/２４＝１４４×２/１５＝１９．２cm²。
四角形ABCG＝△HAB－△HGC＝１４４－１９．２＝１２４．８cm²。

解答例２［相似な図形:]

ぺんこさん、Ｋｎｉｇｈｔさん、大岡　敏幸さん、Yyukomamaさん、マナブさん、 Junkoさん、他

EからBCに下ろした垂線の足をHとし、EHとAFの交点をKとにします。

EKとDFは平行だから、△AEKと△ADFは相似で、
相似比＝AE：AD＝１２：１６＝３：４。
よって、EK＝DF×３/４＝１２×３/４＝６cm。

また、△GEKと△GCFも相似で、相似比＝EK：CF＝６：４＝３：２　・・・　（２）。
以下は、解答例１の各解法と同様にしても求められますが、ここでは次のようにしましょう。

（２）より、KG：GF＝３：２。
また、△AEKと△ADFの相似より、AK：KF＝３：１、
従って、AK：KG：GF＝１５：３：２、
よって、AG：GF＝１８：２＝９：１。

△AGC＝△AFC×９/１０＝３２×０．９＝２８．８cm²。

従って、四角形ABCG＝△ABC＋△AGC＝９６＋２８．８＝１２４．８cm²と求まります。

解答例３［ベンツ切り]

ティーハラさん、ＴＯＲＡさん、shuさん、他

Gを中心にして△ACDを△ACG、△CDG、△DAGの３つに分割し、これらの面積比を求めます。

まず、△ACGと△CDGについて、
△ACE：△CDE＝△GAE：△GDE＝AE：DE＝３：１。
よって、△ACG：△CDG＝（△ACE－△GAE）：（△CDE－△GDE)＝３：１　・・・　（１）

同様に、△ACG：△DAG＝（△ACF－△GCF）：（△ADF－△GDF)＝２：１　・・・　（２）

よって、（１）、（２）より、
　△ACG：△CDG：△DAG＝３：１：６と求まります。

従って、△ACG＝△ACD×３/１０＝９６×０．３＝２８．８cm²。

従って、四角形ABCG＝△ABC＋△ACG＝９６＋２８．８＝１２４．８cm²と求まります。

（参考）
なお、（１）、（２）の求め方は、チェバの定理の証明で使用されており、
これらから、
　AG：GF＝△ACG＋△DAG：△CDG＝９：１
　CG：GE＝△ACG＋△CDG：△DAG＝２：３
が得られます。

解答例４［メネラウスの定理]

ちずさん、長野　美光さん、N.Nishiさん、他

解答例３の参考の部分をメネラウスの定理を用いて求めます。

△AFDと直線FCに関してメネラウスの定理より、
　AG/GF×FC/CD×DE/EA＝１、
　AG/GF×４/１２×４/１２＝１、
よって、AG：GF＝９：１。

また、△CEDと直線FAに関してメネラウスの定理より、
　EG/GC×CF/FD×DA/AE＝１、
　EG/GC×４/８×１６/１２＝１、
よって、EG：GC＝３：２。

さて、
　△GAB＝△AFB×９/１０＝△ABC×９/１０　・・・　（１）
　△GBC＝△EBC×２/５＝△ABC×２/５　・・・　（２）

（１）、（２）より、
四角形ABCG
　＝△GAB＋△GBC
　＝△ABC×（０．９＋０．４）
　＝９６×１．３
　＝１２４．８cm²と求まります。

（その他の解法）

座標をつかって点Ｇをもとめる　・・・　ショウさん、まるケンさん、MrYutaさん、午年のうりぼうさん、辻さん、みかんさん、ちこりんさん、川村　高雅さん、tomhさん、 shiaroさん、kasamaさん、アラちゃんさん、他
　
実際に作図した　・・・　智乃介さん、沙月さん、他


	AFを延長してBCと交わった点をＨとします。ＡＢとＦＣは平行だから、△ＡＢＨと△ＦＣＨは相似で、相似比はＦＣ：ＡＢ＝４：１２＝１：３。従って、ＨＣ：ＨＢ＝１：３、ＨＣ：ＣＢ＝１：２、よって、ＨＣ＝ＢＣ×１/２＝１６×１/２＝８cm。次に、ＡＥとＨＣは平行だから、△ＡＥＧと△ＨＣＧは相似で、相似比はＡＥ：ＨＣ＝１２：８＝３：２、よって、cm²。　となります。　・・・　（１） △ＡＣＨ＝１/２×ＣＨ×ＣＤ＝１/２×８×１２＝４８cm²。 △ACHの底辺をAHと考えれば、　△CAG：△CGH＝AG：GH＝３：２。よって、△AGC＝△ACH×３/５＝４８×０．６＝２８．８cm²。また、△ABC＝１/２×BC×AB＝１/２×１６×１２＝９６cm²。従って、四角形ABCG＝△ABC＋△AGC＝９６＋２８．８＝１２４．８cm²と求まります。答　１２４．８cm² 以上（類解１）同様に、EG：GC＝３：２、よって、 △GCF＝△CED×２/５×４/１２＝２４×２/１５＝３．２cm²。また、台形ABCF＝１/２×（１２＋４）×１２＝１２８cm²。四角形ABCG＝台形ABCF－△GCF＝１２８－３．２＝１２４．８cm²。（類解２）同様に、 △HGC＝△HAB×２/５×８/２４＝１４４×２/１５＝１９．２cm²。四角形ABCG＝△HAB－△HGC＝１４４－１９．２＝１２４．８cm²。


	EからBCに下ろした垂線の足をHとし、EHとAFの交点をKとにします。 EKとDFは平行だから、△AEKと△ADFは相似で、相似比＝AE：AD＝１２：１６＝３：４。よって、EK＝DF×３/４＝１２×３/４＝６cm。また、△GEKと△GCFも相似で、相似比＝EK：CF＝６：４＝３：２　・・・　（２）。以下は、解答例１の各解法と同様にしても求められますが、ここでは次のようにしましょう。（２）より、KG：GF＝３：２。また、△AEKと△ADFの相似より、AK：KF＝３：１、従って、AK：KG：GF＝１５：３：２、よって、AG：GF＝１８：２＝９：１。 △AGC＝△AFC×９/１０＝３２×０．９＝２８．８cm²。従って、四角形ABCG＝△ABC＋△AGC＝９６＋２８．８＝１２４．８cm²と求まります。


	Gを中心にして△ACDを△ACG、△CDG、△DAGの３つに分割し、これらの面積比を求めます。まず、△ACGと△CDGについて、 △ACE：△CDE＝△GAE：△GDE＝AE：DE＝３：１。よって、△ACG：△CDG＝（△ACE－△GAE）：（△CDE－△GDE)＝３：１　・・・　（１）同様に、△ACG：△DAG＝（△ACF－△GCF）：（△ADF－△GDF)＝２：１　・・・　（２）よって、（１）、（２）より、　△ACG：△CDG：△DAG＝３：１：６と求まります。従って、△ACG＝△ACD×３/１０＝９６×０．３＝２８．８cm²。従って、四角形ABCG＝△ABC＋△ACG＝９６＋２８．８＝１２４．８cm²と求まります。（参考）なお、（１）、（２）の求め方は、チェバの定理の証明で使用されており、これらから、　AG：GF＝△ACG＋△DAG：△CDG＝９：１　CG：GE＝△ACG＋△CDG：△DAG＝２：３が得られます。


	解答例３の参考の部分をメネラウスの定理を用いて求めます。 △AFDと直線FCに関してメネラウスの定理より、　AG/GF×FC/CD×DE/EA＝１、　AG/GF×４/１２×４/１２＝１、よって、AG：GF＝９：１。また、△CEDと直線FAに関してメネラウスの定理より、　EG/GC×CF/FD×DA/AE＝１、　EG/GC×４/８×１６/１２＝１、よって、EG：GC＝３：２。さて、　△GAB＝△AFB×９/１０＝△ABC×９/１０　・・・　（１）　△GBC＝△EBC×２/５＝△ABC×２/５　・・・　（２）（１）、（２）より、四角形ABCG 　＝△GAB＋△GBC 　＝△ABC×（０．９＋０．４）　＝９６×１．３　＝１２４．８cm²と求まります。