「算数にチャレンジ」にチャレンジ！#４

　このページでは、「算数にチャレンジ」にチャレンジした問題の中で、特に面白かった問題について取り上げてみたいと思います。

１４２回、１４１回、１４０回、１３９回、１３８回、１３７回、１３６回、１３５回、１３４回、１３３回

第１４２回：

　左の図のような、ＡＢ＝９cm、ＢＣ＝１０cm、ＣＡ＝１２cmの三角形ＡＢＣがあります。

　いま、角ＢＡＣの二等分線と、角ＢＣＡの二等分線をひき、それぞれに対して頂点Ｂから垂線ＢＱ、ＢＰをおろしました。

　このとき、ＰＱの長さを求めてください。

ヒント：ＢＰ、ＢＱを延長してみましょう。？　
参考図　　解答のページへ

　左図のような、直方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨの内部に、長方形ＡＢＣＤの中心（対角線の交点）を頂点とする四角すいＯ－ＥＦＧＨを作ったものです。

　３点Ａ、Ｆ、Ｐ（ＰはＤＣの中点）を通る平面でこの直方体および四角すいを切断するとき、四角すいＯ－ＥＦＧＨはア：イの体積比で分けられます。

　このとき、ア、イにあてはまる数を求めてください。ただし、ア＞イとします。

ヒント：Ｏを原点とする座標で考えてみましょう。？　
参考図１　参考図２　解答のページへ

第１４０回：

　左図のような、ＡＢ：ＢＣ＝２：５の三角形ＡＢＣがあります。いま、角ＡＢＣの二等分線ＢＥをひき、さらに頂点Ｃから直線ＢＥに垂線ＣＤを下ろしました。

　このとき、三角形ＡＢＥと三角形ＤＥＣの面積比を求めてください。

ヒント：BAとCDを延長してみましょう。？　
解答のページへ

第１３９回：

　９Ａ２２Ｂ８ＣＤ４３は、７３でも１３７でも割りきれる１０ケタの整数です。
　
　このとき、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄにあてはまる数を求めてください。

ヒント：７３と１３７は互いに素ですから、７３×１３７＝１０００１でも割り切れる？　解答のページへ

第１３８回：

　まず、ある１１ケタの整数を考えます。

　ここで、１２ケタの整数でそのうちの１つの数字を取り除くと、先ほど考えた１１ケタの整数になるよ
うなものを作ります。

例えば、１１ケタの整数２３７４３５５７９１１を初めに考えたとすると、１２ケタの整数２３７４３５５７９３１１ならば、
百の位の数３を取り除けば、元の１１ケタの整数２３７４３５５７９１１になりますね。

　では、このような１２ケタの整数はいくつあるでしょうか。

ヒント：１１ケタの整数に対し、一桁の数字を付け加えられる場所は何カ所あるでしょうか？
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第１３７回：

　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４つの箱があります。これらの箱の中には、整数の書かれたカードが何枚かずつ入っていて、次のような規則性があります。

・Ａ、Ｂの箱からカードを１枚ずつ取り出すと、その和は必ず　５で割りきれる。
・Ｂ、Ｃの箱からカードを１枚ずつ取り出すと、その和は必ず　７で割りきれる。
・Ｃ、Ｄの箱からカードを１枚ずつ取り出すと、その和は必ず　９で割りきれる。
・Ｄ、Ａの箱からカードを１枚ずつ取り出すと、その和は必ず１１で割りきれる。

　マサル君がＡの箱から１枚取り出してみたところ、そのカードには１が書かれていました。また、Ｃの箱から１枚取り出してみると、今度は２９が書かれていました。

（１）ある箱からカードを取り出したところ、２１８と書かれていました。このカードはＡ～Ｄのどの箱から取り出したものでしょうか。

（２）カードに書かれた整数は、３ケタ以下の整数であるとすると、Ｂの箱には最大で何種類のカードが入っている可能性があるでしょうか。

ヒント：　整数を５，７，９，１１で割った余りを考えてみましょう　　解答のページへ：

第１３６回：

　左図のように、同じ大きさの１０個の円（青色）が輪のようになっています。その輪の周りを、大きさが同じ円（緑色）をすべらさずに転がします。

　では、この円が輪の周りを１周してもとの場所に戻るまでに、何回転するでしょうか。

ただし、円は転がる途中で１０個のすべての円に触れるものとします。

ヒント：　青色の円が１個の場合を考えてみましょう
　参考図１　参考図２　解答のページへ：

第１３５回：

　左図は、それぞれのマスが一辺の長さ１cmの正方形である方眼紙の上に、ある立体の展開図を描いたものです。（※）

　この展開図を組み立てて出来る立体をいくつか使って、すきまなく組み合わせると、直方体を作ることができます。

　では、作ることのできる最も小さい直方体について、
　（１）体積
　（２）表面積
　を求めてください。

※・・・実線は切り取り線、点線は折り目を表しています。

ヒント：　立体を組み立ててみましょう
　参考図１　参考図２　解答のページへ：

第１３４回：

　左図のような、一辺の長さが２５cmの正方形があり、点Ｐは辺ＤＣ上の点で、ＤＰ：ＰＣ＝１：３です。

　また、図中のａ，ｂ，ｃの印のついた角の大きさは等しくなっています。

　このとき、図の水色部分の面積を求めてください。

ヒント：　垂線を引いてみましょう
　参考図　　解答のページへ：

第１３３回：

忘れっぽいマサル君は、３回に１回の確からしさで訪問先にサイフを忘れてくるそうです。

　いま、マサル君がトモエさん宅、ツヨシ君宅、マサヒコ君宅をこの順番で訪問して帰宅したところ、サイフを忘れてきたことに気がつきました。

　では、マサル君がサイフを忘れたのがツヨシ君宅である確からしさを求めてください。

ヒント：　どこかで忘れる確率は？　解答のページへ：